二次域

二次有理数

定义

二次有理数 是可以表示为整系数一元二次方程的解的数。

所有二次有理数均可以表示成以下的形式：

其中， 与 为有理数， 为整数。任意这种形式的数都是二次有理数，两者为一一对应。

若 为正，则集合中所有数均为实数，称为实二次整环或者实二次域。若 为负，则集合中除了一般的有理数以外全部不是实数，称为虚二次整环或虚二次域。

范数

同一个整系数二次方程有两个根。如果它们不是一般的有理数，那么它们在形式上只在二次根号前相差一个正负号。

如果两个二次有理数只在二次根号之前相差正负号，称它们互为 共轭 关系。因为一般的有理数在二次根号前面的系数是 ，因此一般的有理数与它自身为共轭关系。

显然，在虚二次域中，某数的共轭的概念，与复数共轭的概念一致。但是在实二次域中这两个概念不一致。

在二次域中，由加减乘除（非 ）四则运算产生的等式，无法区分共轭关系。也就是说，在等式中将每一个数换成它的共轭数，即将每一个二次根号的符号改变，等式仍然成立。

二次有理数与它的共轭的和称为 迹。某数的迹就是它的有理数部分的 倍，形式简单，因此很少研究迹。

二次有理数与它的共轭的积称为 范数：

显然，在虚二次域中，范数的概念，与复数的模的平方的概念一致。但是在实二次域中这两个概念不一致。由于 不含平方因子，不可能是平方数，因此只有 的范数是 。

范数具有保持乘法和除法（非 ）的良好性质。

一个二次有理数与它的共轭相乘为这个数的范数，因此它的倒数就是它的共轭与范数之比。

二次整数

首项系数为 的整系数二次多项式 的零点是：

称为“含有根号 的二次整数”，全体记作二次整环 ，对于加减乘封闭。不同的 对应于不同的整环。普通的整数环是每一个二次整环的理想。

第一种情况：对于所有的 ， 一定是二次整数。

第二种情况：当 模 余 ， 与 是奇数的时候， 也是二次整数。因为这种情况也是首系数为 的整系数多项式的零点：

奇数的一半称半整数。两个半整数配上除以 余 的 开二次根号，也是二次整数。

以上的 全部可正可负。当 为正时就是普通意义的二次根号，当 为负的时候可以理解成对绝对值开根号，并乘以虚数单位 。

二次整数有两个线性无关的分量，因此二次整数是二维的。

同类二次整数的比是二次有理数。

单位数

如果一个二次整数的倒数还是二次整数，称这个二次整数为 单位数。二次整数是单位数的充要条件是它的范数为 或 。

单位数对于乘法封闭，构成单位群。有一个核心位置的定理（证明极难）：

狄利克雷单位定理：数域的单位群是有限生成阿贝尔群。

狄利克雷单位定理表明：单位群维数有限，存在一组基。所有的单位数可以由基的乘积表示。这组基（不含 和 ）称为 基本单位数。

三种整环

有三种整环的概念：

Euclid 整环：满足 辗转相除法 的整环。

主理想整环：每一个理想都是主理想的整环。一个重要的性质是，它满足

Bezout 定理。

唯一分解整环：每个元素的非相伴分解都唯一的整环，满足 唯一分解定理。

三个概念是层层嵌套包含的关系，唯一分解整环在最外面，欧几里得整环在最里面。欧几里得整环一定是主理想整环，主理想整环一定是唯一分解整环，而反之则不然。因此三个定理也有层层递推的关系。

虽然唯一分解整环不一定是主理想整环，例如在取模多项式整环中可以找到反例，但是在二次域中，这两个概念是重合的，即二次域的主理想整环与唯一分解整环范畴重合。因此，二次域只分为辗转相除和唯一分解两种特殊情形。

在虚二次域中，只有 、、、 和 对应的虚二次整环是 Euclid 整环，其余均不满足辗转相除法。

在实二次域中，只有 、、、、、、、、、、、、、、 和 ，共 个整环是 Euclid 整环。

对于二次域，有很重要的概念叫类数。理想的全体除以理想构成的群，得到商群的大小就称为类数。类数为 ，说明相应的整环是主理想整环。

Gauss 猜想有无穷个类数为 的实二次域，这个问题至今没有得到解决——关于实二次域的大多数此类研究进展都很慢。

已经得到解决的是，虚二次域中，加上上面的 个，只有 、、 和 也是主理想整环。

好在之前的嵌套关系成立。我们只需知道高斯整环（）和艾森斯坦整环（）都是 Euclid 整环，满足辗转相除法和唯一分解定理就够了。

参见 OEIS：

Squarefree values of n for which the quadratic field Q(sqrt(n)) is norm-Euclidean

Q(sqrt(n)) is a unique factorization domain (or simple quadratic field)

相伴与唯一分解

如果一个二次整数乘一个单位数得到另一个二次整数，那么这两个二次整数是 相伴 关系。

唯一分解定理一定要考虑相伴关系才有可能成立。例如，若不考虑相伴关系，由于 是单位数，整数不满足唯一分解：

我们必须在相伴这个等价关系构成的诸多等价类中，为每个类指定一个数作为这个类的代表，即定义 本原数，才可能有唯一分解。

例如在上面的例子中，如果指定 和 为本原数，那么 和 就不是本原数，此时 的分解才变得唯一了。

本原数的规定是人为的，即如果定义 和 、 和 或者 和 为本原数，在唯一分解的角度不会引起矛盾。一般会根据实际问题的研究方便定义本原数。例如，如果我们习惯于在正整数范畴研究问题，那么将正整数定义为本原数即可。

我们看到，事实上只需为所有的素数（在唯一分解前提下与不可约数等价）定义本原数就够了，其他的非素数的本原数定义必然由素数的本原数定义合成。

狄利克雷特征

讲述虚二次域的相关内容，需要先讲讲有关特征的概念。

定义：对于正整数 ， 是定义在全体整数集合上不恒为 的数论函数。如果满足条件：

不互素时取值为 ：，当 。

周期为 ：。

完全积性：对于任意整数 和 ，有 。

那么， 称为模 的狄利克雷特征，简称模 的特征，可以记作 。

根据上述定义，可以直接推出：

在 处取值为 ：。

在 处取值为 ：。

互素时取值：当 时，。

即，当自变量 与模数 互素时，模 的特征只能取 的 次单位根，值域有限，因此模 的特征的个数也有限。

显然，当 时， 恒取值为 的数论函数一定是模 的特征，称为模 的主特征，记作 。模 和模 只有主特征。

一个特征，如果只取实数值（即取值为 ），称为实特征。模 和模 的特征都是实特征。

能取到非实数值得特征称为复特征。两个模 的特征，如果取值在复数域上共轭，称为共轭特征。实特征的共轭特征为本身。共轭特征的乘积为主特征。模 的全体特征的共轭仍旧为模 的全体特征。

关于特征，有如下一些定理：

定理：设 ，那么一定存在唯一的模 的特征 ，使得当 时，

定理：设 ，那么一定存在唯一的模 的特征 以及模 的特征 ，使得对于任意整数 ，有：

根据这个定理，特征可以随着模数的分解而分解，因此只需研究模为素数幂的特征即可。

对于奇素数的幂 ，存在原根 ，特征完全由它在原根 上的取值唯一确定。特征在原根 上可能的取值有：

因此在模 情形下至多有 个不同的特征。根据原根对数的性质，上述特征在 不同时不同。因此，模 的特征恰好有 个。

标记顺序以作为区分：当 时，取定模 的原根 ，则有

该式唯一确定一个模 的特征。并且，当且仅当 时为主特征，当且仅当 或 时为实特征。

同样，根据模 的性质可以证明，模 的特征恰好有 个。综上就有模 的特征恰好有 个。

可以证明，模 的特征的乘法群，与模 的缩剩余系的乘法群同构。

定理：设 是不为 的正整数，， 与 模 不同余，那么一定存在模 的一个非主特征 ，使得 不为 。

类似于本原单位根，也有原特征的概念。模 的原特征的取值的最小正周期为 ，否则为非原特征。非原特征的最小正周期整除 。

二次剩余符号 是模 的实特征。

模 的非主特征只有 ，模 的非主特征只有 。

二次域

具有同样 的二次有理数的全体，构成一个集合，记作 。

容易证明，集合 对于加、减、乘、除封闭，即任意取出两个元素，都可以进行四种运算（保证除数非 ），并且结果也在集合中。因此，它是一个域，称为 的二次域。

和 在有理数域上线性无关，所以在同一个二次域中，二次有理数的表示法具有唯一性。如果有：

那么有：

共轭定理：在同一个二次域中，如果一个等式仅经过有限次合法四则运算构成，那么对等式两边所有数同时取共轭，等式仍然成立。

证明：取共轭后的新的等式左右两边，结果一定仍然在该二次域中。只需证明它们对应的有理系数和无理系数相等。

无论如何，系数都与根号 的整体无关，取共轭只是将根号 换成了负根号 ，从头到尾只用到“平方等于 ”一个性质，因此，对应系数相等。

关于实二次域的相关研究，可以参见连分数和佩尔方程的部分。

虚二次域

在虚二次域中，仅当 为 和 的时候，存在除了 和 以外的单位数。当 为负数且不为 或 的时候，单位数只有 和 。

当 为 的时候，单位数有 个：，，，。当 为 的时候，单位数有 个：，，，，，。

在虚二次域中，仅当 为 和 时，存在基本单位数 和 。其他情况不存在 和 以外的其他单位数，也就不存在基本单位数。

因此，两个整环 和 是特殊的整环，称为高斯整环和艾森斯坦整环。它们直观上分别构成复平面上正方形点阵和正六边形点阵（正三角形格点），研究虚二次域的时候最经常用到这两个整环。

虚二次域中对范数的研究可以转化为 椭圆上整点问题，有名的“圆上整点问题”可以转化为对 为 的虚二次域的研究。

Gauss 整数

一般将 称为高斯域，相应的 为高斯整环，高斯整环中的每个元素为高斯整数，即复平面上正方形格点。

高斯域恰好是四次分圆域，因此常用来解决 四次互反律 问题。

高斯整数中，一个数有四个相伴数（含本身）。

高斯整数中的全体素数分为三类：

分歧 数：，为原来的 的因子。分歧数的共轭是它的相伴数，因此可以指定任一分歧数为本原数代表。

惯性 数：所有正整数中 形式的素数，在高斯整数中仍旧为素数。在整环扩张中保持了素数的特性，因此称为“惯性”。

分裂 数：所有正整数中 形式的素数，在高斯整数中可以拆成一对共轭的两个素数，这两个素数不相伴。这样的新素数是分裂的。

当然，这两个共轭的素数是不同的，即共轭的两个分裂数是互素的。

对于素数中的分裂数和惯性数，本原数的指定往往有着严格的规定，这是为了解决四次剩余问题的方便。

规定：高斯整数中的本原素数 有：

在 的缩系中有 个剩余类，除了 的每个素数的每个相伴数恰好落入其中一类。

对于 与它的相伴数，一般指定 是本原素数。

勾股方程

高斯整数最简单的应用是解决勾股方程的解。勾股方程是满足下面形式的方程：

左边恰好构成高斯整数的范数，即：

通过模 的分析，我们知道右边模 必然余 ，即如果含模 余 的惯性数因子，必然含偶数个。

由于分歧数和分裂数的范数都是一般整数中的素数，将左边唯一分解后必然也只能成对出现（在共轭与相伴的意义下）。即：

用一般的整数写出来就是：

勾股方程的几何意义是单位圆上的圆周角定理，或者半正切的外能代换公式。如下图：

单位圆周上的点 是有理点，等价于直线 的斜率是有理数。

还证明相应的四次形式无解。即：

事实上，可以用无穷递降法证明，

没有整数解。

圆上整点问题

利用高斯整数的唯一分解，可以解决圆上整点问题。即给定范数为 的条件下，有多少个高斯整数满足这个范数 ：

仍旧将左边和右边唯一分解。左边在高斯整数意义下唯一分解，右边在正整数范畴唯一分解。

对于分歧和分裂的素数，范数是原整数中的素数，而 形式惯性的素数，范数是原素数的平方。因此 中 形式的素数必须成对出现，否则无解。

然后利用简单的计数法就知道，在 中 形式的素数成对出现前提下，整点个数与含多少个 （或 ）无关，只与 形式的素数个数有关，每一个 形式的素数提供 中选择方法，在计数中扩大 倍。最后由对称性，整点个数乘 即可。

有解数的公式：

式中 为上文提到的狄利克雷特征，。

Eisenstein 整数

注：Eisenstein（艾森斯坦）是 Gauss 的得意门生。

一般将 称为艾森斯坦域，相应的 为艾森斯坦整环，艾森斯坦整环中的每个元素为艾森斯坦整数，即复平面上正六边形格点。

艾森斯坦域恰好是三次分圆域，也是六次分圆域，因此常用来解决 三次互反律 问题。结合已经解决的二次互反律，就能给出六次剩余的手动计算。同样，如果结合高斯域中的四次互反律，就能解决十二次剩余的手动计算。

艾森斯坦整数中，一个数有六个相伴数（含本身）。

同样，艾森斯坦整数中的全体素数分为三类：

分歧 数：，为原来的 的因子。

惯性 数：所有正整数中 形式（ 和 形式）的素数，在艾森斯坦整数中仍旧为素数。

分裂 数：所有正整数中 形式（ 形式）的素数，在高斯整数中可以拆成一对共轭的两个素数，这两个素数不相伴。这样的新素数是分裂的。同样，这两个共轭的素数是不同的，即共轭的两个分裂数是互素的。

对于素数中的分裂数和惯性数，本原数的指定也有着严格的规定，这是为了解决三次剩余问题的方便。

规定：艾森斯坦整数中的本原素数 有：

在 的缩系中有 个剩余类，除了 的每个素数的每个相伴数恰好落入其中一类。注意，这与通常的 的剩余类不同。艾森斯坦整数中 的全部剩余类有 个，而缩系中有 个。

对于 与它的相伴数，可以指定 是本原素数。

艾森斯坦整数可以解决下面形式的方程的解：

或者：

或者：

后两个在整数范畴是等价的。这里的求解完全仿照勾股方程即可，不再赘述。

类勾股方程

定理：设 为奇数，则当 时

成立，等价于存在 和 ，，使得

利用艾森斯坦整环的唯一分解性，该定理是显然的。

利用上述结论与无穷递降法，同样能证明三次的某种形式无解，即：

椭圆上整点问题

利用艾森斯坦整数的唯一分解，可以解决一种椭圆上整点问题。即给定范数为 的条件下，有多少个艾森斯坦整数满足这个范数 。三种形式为：

或者：

或者：

方法仍旧完全一样，不再赘述。它们的结论是：

方程

解的个数为

式中 为上文提到的狄利克雷特征，。

记 ， 为正奇数。对于方程

的结论，当 为奇数时无解，当 时，解数为

当 为正偶数时，解数为