类欧几里德算法
定义
类欧几里德算法是洪华敦在 2016 年冬令营营员交流中提出的内容。
其本质可以理解为，使用一个类似辗转相除法的方法来进行函数求和。
引入
设
其中
这个式子和我们以前见过的式子都长得不太一样。带向下取整的式子容易让人想到数论分块，然而数论分块似乎不适用于这个求和。但是我们是可以做一些预处理的。
如果说
那么问题转化为了
要加快一个和式的计算过程，所有的方法都可以归约为 贡献合并计算。但你发现这个式子的贡献难以合并，怎么办？将贡献与条件做转化 得到另一个形式的和式。具体地，我们直接把原式的贡献变成条件：
现在多了一个变量
这样做的目的是让
然后可以做一些变换
最后一步，向下取整得到：
这一步的重要意义在于，我们可以把变量
这是一个递归的式子。并且你发现
容易发现时间复杂度为
扩展
理解了最基础的类欧几里德算法，我们再来思考以下两个变种求和式：
推导 g
我们先考虑
接下来考虑
这时我们设
推导 h
同样的，首先取模：
考虑
我们发现这个平方不太好处理，于是可以这样把它拆成两部分：
这样做的意义在于，添加变量
接下来考虑化简前一部分：
因此
在代码实现的时侯，因为
实现
#include <bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
const int P = 998244353;
int i2 = 499122177, i6 = 166374059;
struct data {
data() { f = g = h = 0; }
int f, g, h;
}; // 三个函数打包
data calc(int n, int a, int b, int c) {
int ac = a / c, bc = b / c, m = (a * n + b) / c, n1 = n + 1, n21 = n * 2 + 1;
data d;
if (a == 0) { // 迭代到最底层
d.f = bc * n1 % P;
d.g = bc * n % P * n1 % P * i2 % P;
d.h = bc * bc % P * n1 % P;
return d;
}
if (a >= c || b >= c) { // 取模
d.f = n * n1 % P * i2 % P * ac % P + bc * n1 % P;
d.g = ac * n % P * n1 % P * n21 % P * i6 % P + bc * n % P * n1 % P * i2 % P;
d.h = ac * ac % P * n % P * n1 % P * n21 % P * i6 % P +
bc * bc % P * n1 % P + ac * bc % P * n % P * n1 % P;
d.f %= P, d.g %= P, d.h %= P;
data e = calc(n, a % c, b % c, c); // 迭代
d.h += e.h + 2 * bc % P * e.f % P + 2 * ac % P * e.g % P;
d.g += e.g, d.f += e.f;
d.f %= P, d.g %= P, d.h %= P;
return d;
}
data e = calc(m - 1, c, c - b - 1, a);
d.f = n * m % P - e.f, d.f = (d.f % P + P) % P;
d.g = m * n % P * n1 % P - e.h - e.f, d.g = (d.g * i2 % P + P) % P;
d.h = n * m % P * (m + 1) % P - 2 * e.g - 2 * e.f - d.f;
d.h = (d.h % P + P) % P;
return d;
}
int T, n, a, b, c;
signed main() {
scanf("%lld", &T);
while (T--) {
scanf("%lld%lld%lld%lld", &n, &a, &b, &c);
data ans = calc(n, a, b, c);
printf("%lld %lld %lld\n", ans.f, ans.h, ans.g);
}
return 0;
}贡献者：@Tifa@WenzelTian@Ir1dXD@mgt@Great-designer
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