快速幂

定义

快速幂，二进制取幂（Binary Exponentiation，也称平方法），是一个在 的时间内计算 的小技巧，而暴力的计算需要 的时间。

这个技巧也常常用在非计算的场景，因为它可以应用在任何具有结合律的运算中。其中显然的是它可以应用于模意义下取幂、矩阵幂等运算，我们接下来会讨论。

解释

计算 的 次方表示将 个 乘在一起：个。然而当 太大的时侯，这种方法就不太适用了。不过我们知道：。二进制取幂的想法是，我们将取幂的任务按照指数的 二进制表示 来分割成更小的任务。

过程

首先我们将 表示为 2 进制，举一个例子：

因为 有 个二进制位，因此当我们知道了 后，我们只用计算 次乘法就可以计算出 。

于是我们只需要知道一个快速的方法来计算上述 3 的 次幂的序列。这个问题很简单，因为序列中（除第一个）任意一个元素就是其前一个元素的平方。举一个例子：

因此为了计算 ，我们只需要将对应二进制位为 1 的整系数幂乘起来就行了：

将上述过程说得形式化一些，如果把 写作二进制为 ，那么有：

其中 。那么就有

根据上式我们发现，原问题被我们转化成了形式相同的子问题的乘积，并且我们可以在常数时间内从 项推出 项。

这个算法的复杂度是 的，我们计算了 个 次幂的数，然后花费 的时间选择二进制为 1 对应的幂来相乘。

实现

首先我们可以直接按照上述递归方法实现：

=== "C++"

```cpp
long long binpow(long long a, long long b) {
  if (b == 0) return 1;
  long long res = binpow(a, b / 2);
  if (b % 2)
    return res * res * a;
  else
    return res * res;
}
```

=== "Python"

```python
def binpow(a, b):
    if b == 0:
        return 1
    res = binpow(a, b // 2)
    if (b % 2) == 1:
        return res * res * a
    else:
        return res * res
```

第二种实现方法是非递归式的。它在循环的过程中将二进制位为 1 时对应的幂累乘到答案中。尽管两者的理论复杂度是相同的，但第二种在实践过程中的速度是比第一种更快的，因为递归会花费一定的开销。

=== "C++"

```cpp
long long binpow(long long a, long long b) {
  long long res = 1;
  while (b > 0) {
    if (b & 1) res = res * a;
    a = a * a;
    b >>= 1;
  }
  return res;
}
```

=== "Python"

```python
def binpow(a, b):
    res = 1
    while b > 0:
        if (b & 1):
            res = res * a
        a = a * a
        b >>= 1
    return res
```

模板：Luogu P1226

应用

模意义下取幂

这是一个非常常见的应用，例如它可以用于计算模意义下的乘法逆元。

既然我们知道取模的运算不会干涉乘法运算，因此我们只需要在计算的过程中取模即可。

=== "C++"

```cpp
long long binpow(long long a, long long b, long long m) {
  a %= m;
  long long res = 1;
  while (b > 0) {
    if (b & 1) res = res * a % m;
    a = a * a % m;
    b >>= 1;
  }
  return res;
}
```

=== "Python"

```python
def binpow(a, b, m):
    a = a % m
    res = 1
    while b > 0:
        if (b & 1):
            res = res * a % m
        a = a * a % m
        b >>= 1
    return res
```

注意：根据费马小定理，如果 是一个质数，我们可以计算 来加速算法过程。

计算斐波那契数

根据斐波那契数列的递推式 ，我们可以构建一个 的矩阵来表示从 到 的变换。于是在计算这个矩阵的 次幂的时侯，我们使用快速幂的思想，可以在 的时间内计算出结果。对于更多的细节参见

多次置换

简单地把这个置换取 次幂，然后把它应用到序列 上即可。时间复杂度是 的。

注意：给这个置换建图，然后在每一个环上分别做 次幂（事实上做一下 对环长取模的运算即可）可以取得更高效的算法，达到 的复杂度。

加速几何中对点集的操作

引入

三维空间中， 个点 ，要求将 个操作都应用于这些点。包含 3 种操作：

1. 沿某个向量移动点的位置（Shift）。
2. 按比例缩放这个点的坐标（Scale）。
3. 绕某个坐标轴旋转（Rotate）。

还有一个特殊的操作，就是将一个操作序列重复 次（Loop），这个序列中也可能有 Loop 操作（Loop 操作可以嵌套）。现在要求你在低于 的时间内将这些变换应用到这个 个点，其中 表示把所有的 Loop 操作展开后的操作序列的长度。

解释

让我们来观察一下这三种操作对坐标的影响：

1. Shift 操作：将每一维的坐标分别加上一个常量；
2. Scale 操作：把每一维坐标分别乘上一个常量；
3. Rotate 操作：这个有点复杂，我们不打算深入探究，不过我们仍然可以使用一个线性组合来表示新的坐标。

可以看到，每一个变换可以被表示为对坐标的线性运算，因此，一个变换可以用一个 的矩阵来表示：

使用这个矩阵就可以将一个坐标（向量）进行变换，得到新的坐标（向量）：

你可能会问，为什么一个三维坐标会多一个 1 出来？原因在于，如果没有这个多出来的 1，我们没法使用矩阵的线性变换来描述 Shift 操作。

过程

接下来举一些简单的例子来说明我们的思路：

1. Shift 操作：让 坐标方向的位移为 ， 坐标的位移为 ， 坐标的位移为 ：

2. Scale 操作：把 坐标拉伸 10 倍， 坐标拉伸 5 倍：

3. Rotate 操作：绕 轴旋转 弧度，遵循右手定则（逆时针方向）

现在，每一种操作都被表示为了一个矩阵，变换序列可以用矩阵的乘积来表示，而一个 Loop 操作相当于取一个矩阵的 k 次幂。这样可以用 计算出整个变换序列最终形成的矩阵。最后将它应用到 个点上，总复杂度 。

定长路径计数

我们把该图的邻接矩阵 M 取 k 次幂，那么 就表示从 到 长度为 的路径的数目。该算法的复杂度是 。有关该算法的细节请参见

模意义下大整数乘法

计算 。

与二进制取幂的思想一样，这次我们将其中的一个乘数表示为若干个 2 的整数次幂的和的形式。因为在对一个数做乘 2 并取模的运算的时侯，我们可以转化为加减操作防止溢出。这样仍可以在 的时内解决问题。递归方法如下：

快速乘

但是 的“龟速乘”还是太慢了，这在很多对常数要求比较高的算法比如 Miller_Rabin 和 Pollard-Rho 中，就显得不够用了。所以我们要介绍一种可以处理模数在 long long 范围内、不需要使用黑科技 __int128 的、复杂度为 的“快速乘”。

我们发现：

我们巧妙运用 unsigned long long 的自然溢出：

于是在算出 后，两边的乘法和中间的减法部分都可以使用 unsigned long long 直接计算，现在我们只需要解决如何计算 。

我们考虑先使用 long double 算出 再乘上 。

既然使用了 long double，就无疑会有精度误差。极端情况就是第一个有效数字（二进制下）在小数点后一位。在 x86-64 机器下，long double 将被解释成 位拓展小数（即符号为 位，指数为 位，尾数为 位），所以 long double 最多能精确表示的有效位数为 ¹。所以 最差从第 位开始出错，误差范围为 。乘上 这个 位整数，误差范围为 ，再加上 误差范围为 ，取整后误差范围位 。于是乘上 后，误差范围变成 ，我们需要判断这两种情况。

因为 在 long long 范围内，所以如果计算结果 在 时，直接返回 ，否则返回 ，当然你也可以直接返回 。

代码实现如下：

高精度快速幂

代码实现如下：

同一底数与同一模数的预处理快速幂

在同一底数与同一模数的条件下，可以利用分块思想，用一定的时间（一般是 ）预处理后用 的时间回答一次幂询问。

过程

1. 选定一个数 ，预处理出 到 与 到 的值并存在一个（或两个）数组里；
2. 对于每一次询问 ，将 拆分成 ，则 ，可以 求出答案。

关于这个数 的选择，我们一般选择 或者一个大小适当的 的次幂（选择 可以使预处理较优，选择 的次幂可以使用位运算优化/简化计算）。

习题

• UVa 1230 - MODEX

• UVa 374 - Big Mod

• UVa 11029 - Leading and Trailing

• Codeforces - Parking Lot

• SPOJ - The last digit

• SPOJ - Locker

• LA - 3722 Jewel-eating Monsters

• SPOJ - Just add it

  本页面部分内容译自博文 Бинарное возведение в степень 与其英文翻译版 Binary Exponentiation。其中俄文版版权协议为 Public Domain + Leave a Link；英文版版权协议为 CC-BY-SA 4.0。

参考资料与注释