最大公约数

定义

最大公约数即为 Greatest Common Divisor，常缩写为 gcd。

一组整数的公约数，是指同时是这组数中每一个数的约数的数。 是任意一组整数的公约数。

一组整数的最大公约数，是指所有公约数里面最大的一个。

那么如何求最大公约数呢？我们先考虑两个数的情况。

欧几里得算法

过程

如果我们已知两个数 和 ，如何求出二者的最大公约数呢？

不妨设

我们发现如果 是 的约数，那么 就是二者的最大公约数。 下面讨论不能整除的情况，即 ，其中 。

我们通过证明可以得到 ，过程如下：

既然得到了 ，这里两个数的大小是不会增大的，那么我们也就得到了关于两个数的最大公约数的一个递归求法。

实现

=== "C++"

```cpp
// Version 1
int gcd(int a, int b) {
  if (b == 0) return a;
  return gcd(b, a % b);
}

// Version 2
int gcd(int a, int b) { return b == 0 ? a : gcd(b, a % b); }
```

=== "Java"

```java
// Version 1
public int gcd(int a, int b) {
    if (b == 0) return a;
    return gcd(b, a % b);
}

// Version 2
public int gcd(int a, int b) {
    return b == 0 ? a : gcd(b, a % b);
}
```

=== "Python"

```python
def gcd(a, b):
    if b == 0:
        return a
    return gcd(b, a % b)
```

递归至 b == 0（即上一步的 a % b == 0) 的情况再返回值即可。

根据上述递归求法，我们也可以写出一个迭代求法：

=== "C++"

```cpp
int gcd(int a, int b) {
  while (b != 0) {
    int tmp = a;
    a = b;
    b = tmp % b;
  }
  return a;
}
```

=== "Java"

```java
public int gcd(int a, int b) {
    while(b != 0) {
        int tmp = a;
        a = b;
        b = tmp % b;
    }
    return a;
}
```

=== "Python"

```python
def gcd(a, b):
    while b != 0:
        a, b = b, a % b
    return a
```

上述算法都可被称作欧几里得算法（Euclidean algorithm）。

另外，对于 C++14，我们可以使用自带的 __gcd(a,b) 函数来求最大公约数。而对于 C++ 17，我们可以使用 <numeric> 头中的 std::gcd 与 std::lcm 来求最大公约数和最小公倍数。

如果两个数 和 满足 ，我们称 和 互质。

性质

欧几里得算法的时间效率如何呢？下面我们证明，欧几里得算法的时间复杂度为 。

事实上，假如我们试着用欧几里得算法去求

多个数的最大公约数

那怎么求多个数的最大公约数呢？显然答案一定是每个数的约数，那么也一定是每相邻两个数的约数。我们采用归纳法，可以证明，每次取出两个数求出答案后再放回去，不会对所需要的答案造成影响。

最小公倍数

接下来我们介绍如何求解最小公倍数（Least Common Multiple, LCM）。

定义

一组整数的公倍数，是指同时是这组数中每一个数的倍数的数。0 是任意一组整数的公倍数。

一组整数的最小公倍数，是指所有正的公倍数里面，最小的一个数。

两个数

设 ，

我们发现，对于 和 的情况，二者的最大公约数等于

最小公倍数等于

由于

所以得到结论是

要求两个数的最小公倍数，先求出最大公约数即可。

多个数

可以发现，当我们求出两个数的 时，求最小公倍数是 的复杂度。那么对于多个数，我们其实没有必要求一个共同的最大公约数再去处理，最直接的方法就是，当我们算出两个数的 ，或许在求多个数的 时候，我们将它放入序列对后面的数继续求解，那么，我们转换一下，直接将最小公倍数放入序列即可。

扩展欧几里得算法

扩展欧几里得算法（Extended Euclidean algorithm, EXGCD），常用于求 的一组可行解。

过程

设

由欧几里得定理可知：

所以

又因为

所以

因为 ，所以

将 不断代入递归求解直至 （最大公约数，下同）为 0 递归 x=1,y=0 回去求解。

实现

=== "C++"

```cpp
int Exgcd(int a, int b, int &x, int &y) {
  if (!b) {
    x = 1;
    y = 0;
    return a;
  }
  int d = Exgcd(b, a % b, x, y);
  int t = x;
  x = y;
  y = t - (a / b) * y;
  return d;
}
```

=== "Python"

```python
def Exgcd(a, b):
    if b == 0:
        return a, 1, 0
    d, x, y = Exgcd(b, a % b)
    return d, y, x - (a // b) * y
```

函数返回的值为 ，在这个过程中计算 即可。

值域分析

的解有无数个，显然其中有的解会爆 long long。
万幸的是，若 ，扩展欧几里得算法求出的可行解必有 。
下面给出这一性质的证明。

迭代法编写扩展欧几里得算法

首先，当 ，，， 时，显然有：

成立。

已知 ，下面令 。参考迭代法求 gcd，每一轮的迭代过程可以表示为：

将迭代过程中的 替换为 ， 替换为 ，可以得到：

据此就可以得到迭代法求 exgcd。

因为迭代的方法避免了递归，所以代码运行速度将比递归代码快一点。

int gcd(int a, int b, int& x, int& y) {
  x = 1, y = 0;
  int x1 = 0, y1 = 1, a1 = a, b1 = b;
  while (b1) {
    int q = a1 / b1;
    tie(x, x1) = make_tuple(x1, x - q * x1);
    tie(y, y1) = make_tuple(y1, y - q * y1);
    tie(a1, b1) = make_tuple(b1, a1 - q * b1);
  }
  return a1;
}

如果你仔细观察 和 ，你会发现，他们在迭代版本的欧几里德算法中取值完全相同，并且以下公式无论何时（在 while 循环之前和每次迭代结束时）都是成立的： 和 。因此，该算法肯定能正确计算出 。

最后我们知道 就是要求的 ，有 。

矩阵的解释

对于正整数 和 的一次辗转相除即 使用矩阵表示如

其中向下取整符号 表示不大于 的最大整数。我们定义变换 。

易发现欧几里得算法即不停应用该变换，有

令

那么

满足 即扩展欧几里得算法，注意在最后乘了一个单位矩阵不会影响结果，提示我们可以在开始时维护一个 的单位矩阵编写更简洁的迭代方法如

int exgcd(int a, int b, int &x, int &y) {
  int x1 = 1, x2 = 0, x3 = 0, x4 = 1;
  while (b != 0) {
    int c = a / b;
    std::tie(x1, x2, x3, x4, a, b) =
        std::make_tuple(x3, x4, x1 - x3 * c, x2 - x4 * c, b, a - b * c);
  }
  x = x1, y = x2;
  return a;
}

这种表述相较于递归更简单。

应用

• 10104 - Euclid Problem
• GYM - (J) once upon a time
• UVA - 12775 - Gift Dilemma