二次整数
对于二次有理数 ，此处要求 是不含平方因子的整数。当以下情形成立时：
- 与 是整数， 或 。
- 与 是整数，或者 与 同时是半整数，。
此时称该二次有理数 是二次整数。二次整数与首一整系数二次方程的解构成对应关系。
如果二次整数 的范数 为 或 ，则它的倒数也是二次整数，恰好是它的共轭或者共轭的相反数。此时称它为整环 的 单位数，简称单位数。
可以证明，存在 基本单位数，使得全体单位数都可以表示成为基本单位数的幂（或幂的相反数）。它也就是对应 Pell 方程的 基本解，通解可以表示为基本解的幂（或幂的相反数）。
我们用 Dirichlet 逼近定理来逼近二次根式 。即有无穷个有理数（显然为正有理数）满足：
于是，下面的范数就有：
这是对范数拆出的两项进行估值。这也直观地说明只要有理数与 越接近，范数越小。
因此，范数较小的二次整数有无限个，进而采用一些手段，就可以推出范数为 的单位数存在，也存在无限个。
进而可以发现，对于所有 的渐进分数，配上系数之后得到的二次整数的范数都落在非常小的区间。由于 的渐进分数是余数循环的，只要其中出现使得范数为 的渐进分数，经过一个循环之后新的渐进分数凑成的二次整数也应当满足范数为 ，即这个新渐进分数也是单位数。由于第 个渐进分数规定为 ，对应的二次整数范数为 ，那么只要计算每个循环节处前一个渐进分数即可。
根据上逼近与下逼近的结论，第奇数个渐进分数得到的范数为负，偶数个为正。即是否存在范数为 的二次整数取决于循环连分数的循环节长度是否为奇数。
最后还有一个结论，每经过一个循环，相当于旧的二次整数乘上了一个单位数，得到新的二次整数。因此上面得到的单位数是基本单位数。这样，就提供了一种 Pell 方程通解的直接计算方法。
连分数过渡到 Pell 方程的一些定理
定理：记 。如果有 ，则 一定是 的渐进分数。
证明：分情况讨论。
当 时，根据 ，有 。并且有
此时根据勒让德判别法， 是 的渐进分数。
当 时，原始方程 可以变形为 。变回上一种情况。于是 是 的渐进分数。由倒数定理， 是 的渐进分数。
定理：
式中的 也是拉格朗日连分数定理中的 分母。
证明：根据
消去 可以得到
根据有理项和无理项对应相等，有
分别乘以 、，再相减，得到
证毕。
定理：当且仅当 ，其中 是正整数， 是最短循环周期时，有 。
证明：
已经知道
是纯循环连分数。并且有
因此 和 从第 项起余项相同，第 项起分母相同。后续的 完全一致。
因为 ，并且有纯循环的周期性，所以 。
纯循环连分数的余项也纯循环。当 时，有
根据 为最短周期，有 。证毕。
定理：如果 和 都是 的一组整数解，那么
也是方程的一组整数解。这是因为
Pell 方程
我们给出两个不定方程： 和 ，若 为完全平方数，则第一个方程只有解 ，第二个方程无解。
若 不为完全平方数，称形如此类的方程为 Pell 方程。根据相应的二次整环不同，一般研究的 Pell 方程分为 、、、 四类。
设 ，它的循环连分数周期为 ，渐近分数为 ，则：
- 当 为偶数时，第一个方程的全体正解为 ，第二个方程无解。
- 当 为奇数时，第一个方程的全体正解为 ，第二个方程的全体正解为 。
还有另一种更加简单的表示方法：
- 当 为偶数时，第一个方程的全体解为 ，第二个方程无解。
- 当 为奇数时，第一个方程的全体正解为 ，第二个方程的全体正解为 。
这是循环连分数渐进分数与二次有理数乘法的对应关系。该结论由下面的定理给出。
定理：记 Pell 方程 使得 最小的一组正整数解为基本解 ，则方程的全部正整数解为
证明：
假如有一组正整数解 不出现在上述序列中。因为 ，所以必然有
两边同时乘 ，也就是除以 ，有
并且 也是一组整数解。有
因此 是一组正整数解。这与 的选取矛盾。证毕。
定理：对于具有奇数位循环节的 ，记最小的一组满足 的正整数解为 ，则满足 的所有解由
给出。并且 满足 ， 满足 。
证明完全同上。
方程 必然有解，而方程 不一定有解，有解等价于连分数循环节长度为奇数。
定理：如果 连分数循环节长度为奇数，并且 存在唯一的平方和表示 ，则两个方程 、 至少有一个有解。
如果了解高斯整数的知识，只有当一个数所有的 型素因子均成对，这个数才能进行平方和表示，此时平方和表示的个数就是这个数含有的 型素因子数的个数。
证明：
根据伽罗瓦连分数定理，对称的余项 和 循环部分恰好相反，因此互为倒数负共轭。
因为循环节是奇数，连分数展开中对称部分最中间的余项与自己互为倒数负共轭。记对称部分最中间位置下标为 。于是有
因为 的平方和表示是唯一的，所以下标 必然有 、，或者 、。
由于得到余项的前面的操作为取倒数，即负共轭，再前面为取整，下标 的余项 分母应当与下标 这项相同，即 。
由于连分数的结论有 的解为相应渐进分数，因此上述两个方程必然存在一个解，为下标 或 的渐进分数。证毕。
如果直接对方程 两端取模 ，能够知道 。然而，这只是一个充分条件，而非必要条件。通过取模的方式确定什么时候方程有解，基本做不到。例如，可以给出一个无解的充分条件：
定理：如果 存在唯一的平方和表示 ，并且 ，则方程 无解。
例如对于 有 ，于是 无解。
证明：
如果方程 有解，则两个方程 、 至少有一个有解。模 就得到了矛盾。证毕。
对于 为 形式的时候，有可能相应基本单位数的系数是半整数。此时有结论：如果 为 形式时，相应基本单位数的系数是半整数，则基本单位数的三次方系数为整数。
此时，上述方法求出的基本解不是基本单位数，而是基本单位数的三次方。
如果想直接求解 为 形式时的基本单位数，改令 ，并规定这里的连分数第零项为半整数，重复上述操作，并将结果乘 （提出二分之一）。
例如当 为 的时候， 的半整数连分数表示为：
于是解得基本单位数 。
但是 为 的时候， 的半整数连分数表示为：
于是解得基本单位数 。它不属于半整数形式。
在 到 中，，，，， 和 的基本单位数属于这种分母中含 的半整数形式，而 ，，，，， 和 的基本单位数属于非半整数形式。
如果快速求解第 个解（或第 个单位数），只需要求出基本解（或基本单位数），然后借助快速幂的想法去乘就可以了。注意乘一个二次有理数的时候， 与 的变化是一个递推关系。
如果要求从头开始连续若干个解（或连续若干个单位数）， 与 的变化就是一个固定的递推关系，相邻三项一定满足特征方程，即基本解（或基本单位数）对应的二次三项式。即：
如果基本解（或基本单位数） 是对应的二次方程 的解，则有递推：
事实上，斐波那契数列（的一半）与卢卡斯数列（的一半）恰好组合成了基本单位数 的全体幂，即使引入负下标也成立。这是它们的很多性质的来源。