树的直径
树上任意两节点之间最长的简单路径即为树的「直径」。
前置知识：树基础。
引入
显然，一棵树可以有多条直径，他们的长度相等。
可以用两次 DFS 或者树形 DP 的方法在
例题
给定一棵
做法 1. 两次 DFS
过程
首先从任意节点
显然，如果第一次 DFS 到达的节点
定理：在一棵树上，从任意节点
使用反证法。记出发节点为
- 若
有
- 若
有
- 若
有
综上，三种情况下假设均会产生矛盾，故原定理得证。
上述证明过程建立在所有路径均不为负的前提下。如果树上存在负权边，则上述证明不成立。故若存在负权边，则无法使用两次 DFS 的方式求解直径。
实现
代码实现如下。
const int N = 10000 + 10;
int n, c, d[N];
vector<int> E[N];
void dfs(int u, int fa) {
for (int v : E[u]) {
if (v == fa) continue;
d[v] = d[u] + 1;
if (d[v] > d[c]) c = v;
dfs(v, u);
}
}
int main() {
scanf("%d", &n);
for (int i = 1; i < n; i++) {
int u, v;
scanf("%d %d", &u, &v);
E[u].push_back(v), E[v].push_back(u);
}
dfs(1, 0);
d[c] = 0, dfs(c, 0);
printf("%d\n", d[c]);
return 0;
}如果需要求出一条直径上所有的节点，则可以在第二次 DFS 的过程中，记录每个点的前序节点，即可从直径的一端一路向前，遍历直径上所有的节点。
做法 2. 树形 DP
过程
我们记录当
树形 DP 可以在存在负权边的情况下求解出树的直径。
实现
代码实现如下。
const int N = 10000 + 10;
int n, d = 0;
int d1[N], d2[N];
vector<int> E[N];
void dfs(int u, int fa) {
d1[u] = d2[u] = 0;
for (int v : E[u]) {
if (v == fa) continue;
dfs(v, u);
int t = d1[v] + 1;
if (t > d1[u])
d2[u] = d1[u], d1[u] = t;
else if (t > d2[u])
d2[u] = t;
}
d = max(d, d1[u] + d2[u]);
}
int main() {
scanf("%d", &n);
for (int i = 1; i < n; i++) {
int u, v;
scanf("%d %d", &u, &v);
E[u].push_back(v), E[v].push_back(u);
}
dfs(1, 0);
printf("%d\n", d);
return 0;
}如果需要求出一条直径上所有的节点，则可以在 DP 的过程中，记录下每个节点能向下延伸的最远距离与次远距离所对应的子节点，之后再找到对应的
性质
若树上所有边边权均为正，则树的所有直径中点重合
证明：使用反证法。设两条中点不重合的直径分别为
有
习题
贡献者：@WenzelTian@SBofGaySchool@Nathan@peterlits@XTh3G4p@mgt@Mout-sea@Shuhao@lychees
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