斯坦纳树

斯坦纳树问题是组合优化问题，与最小生成树相似，是最短网络的一种。最小生成树是在给定的点集和边中寻求最短网络使所有点连通。而最小斯坦纳树允许在给定点外增加额外的点，使生成的最短网络开销最小。

问题引入

19 世纪初叶，柏林大学几何方面的著名学者斯坦纳，研究了一个非常简单却很有启示性的问题：将三个村庄用总长为极小的道路连接起来。从数学上说，就是在平面内给定三个点 、、 找出平面内第四个点 ，使得和数 为最短，这里 、、 分别表示从 到 、、 的距离。

问题的答案是：如果三角形 的每个内角都小于 ，那么 就是使边 、、 对该点所张的角都是 的点。如果三角形 的有一个角，例如 角，大于或等于 ，那么点 与顶点 重合。

问题推广

1. 在斯坦纳问题中，给定了三个固定点 。很自然地可以把这个问题推广到给定 个点 的情形；我们要求出平面内的点 ，使距离和 为极小，其中 是距离 。

2. 考虑到点的其他相关因素，加入了权重的表示。 个点的其他相关因素可以换算成一个权重表示，求出平面内的点 ，使距离与权重的乘积的总和 为极小，其中 是每个点的权重。

3. 库朗（R.Courant）和罗宾斯（H.Robbins）提出第一个定义的推广是肤浅的。为了求得斯坦纳问题真正有价值的推广，必须放弃寻找一个单独的点 ，而代之以具有最短总长的＂道路网＂。数学上表述成：给定 个点 ，试求连接此 个点，总长最短的直线段连接系统，并且任意两点都可由系统中的直线段组成的折线连接起来。他们将此新问题称为 斯坦纳树问题。在给定 个点的情形，最多将有 个复接点（斯坦纳点）。过每一斯坦纳点，至多有三条边通过。若为三条边，则它们两两交成 角；若为两条边，则此斯坦纳点必为某一已给定的点，且此两条边交成的角必大于或等于 。

连接三个以上的点的最短网络

在第一种情形，解是由五条线段组成的，其中有两个斯坦纳点（红色 ），在那里有三条线段相交且相互间的交角为 。第二种情形的解含有三个斯坦纳点。第三种情形，一个或几个斯坦纳点可能退化，或被一个或几个给定的点所代替。

我们将斯坦纳树的问题模型以图论形式呈现。

对于形式一，如果令关键点为 ，可以发现若直接将这四个关键点相连的最小边权和是 12，显然这不是最优的。如果考虑使用 5 号节点那么最小边权和就会是 9，得到一个更优的答案。

对于形式二，如果令关键点为 ，可以发现这四个关键点中的一些点甚至没有直接相连的边，必须考虑使用复接点（斯坦纳点）。这时将 5 号考虑进去可以得到最小边权和 9。

并且我们可以发现在两张图中 1 号和 4 号的斯坦纳点是退化的，被 1 号或 4 号代替了。

例题

首先以一道模板题来带大家熟悉最小斯坦纳树问题。见 【模板】最小斯坦纳树。

题意已经很明确了，给定连通图 中的 个点与 个关键点，连接 个关键点，使得生成树的所有边的权值和最小。

结合上面的知识我们可以知道直接连接这 个关键点生成的权值和不一定是最小的，或者这 个关键点不会直接（相邻）连接。所以应当使用剩下的 个点。

我们使用状态压缩动态规划来求解。用 表示以 为根的一棵树，包含集合 中所有点的最小边权值和。

考虑状态转移：

• 首先对连通的子集进行转移，。

• 在当前的子集连通状态下进行边的松弛操作，。在下面的代码中用一个 tree[tot] 来记录两个相连节点 的相关信息。

另外一道经典例题 [WC2008]游览计划。

这道题是求点权和最小的斯坦纳树，用 表示以 为根的一棵树，包含集合 中所有点的最小点权值和。 表示点权。

考虑状态转移：

• 。由于此处合并时同一个点 ，会被加两次，所以减去。

• 。

可以发现状态转移与上面的模板题是类似的，麻烦的是对答案的输出，在 DP 的过程中还要记录路径。

用 pre[i][s] 记录转移到 为根，连通状态集合为 时的点与集合的信息。在 DP 结束后从 pre[root][S] 出发，寻找与集合里的点相连的那些点并逐步分解集合 ，用 ans 数组来记录被使用的那些点，当集合分解完毕时搜索也就结束了。

习题

• 【模板】最小斯坦纳树
• [WC2008]游览计划
• [JLOI2015]管道连接
• [APIO2013]机器人