图的着色

设 ，考虑数学归纳法。

首先， 时，命题显然成立。

接下来，假设对于 时的命题成立，下面我们要逐步强化命题。

不妨只考虑 - 正则图，因为对于非正则图来说，可以看作在正则图里删去一些边构成的，而这一过程并不会影响结论。

对于任意不是完全图也不是奇圈的正则图 G，任取其中一点 v，考虑子图 ，由归纳假设知 ，接下来我们只需证明在 H 中插入 v 不会影响结论即可。

令 ，设 H 染的 种颜色分别为 ，v 的 个邻接点为 。不妨假设 v 的这些邻接点颜色两两不同，否则命题得证。

接下来我们设所有在 H 中染成 或 的点以及它们之间的所有边构成子图 。不妨假设任意 2 个不同的点 ， 一定在 的同一个连通分量中，否则若在两个连通分量中的话，可以交换其中一个连通分量所有点的颜色，从而 ， 颜色相同。

这里的交换颜色指的是若图中只有两种颜色 a，b，那么把图中原来染成颜色 a 的点全部染成颜色 b，把图中原来染成颜色 b 的点全部染成颜色 a。

我们设上述连通分量为 ，那么 一定只能是 到 的路。因为 在 H 中的度为 ，所以 在 H 中的邻接点颜色一定两两不同，否则可以给 染别的颜色，从而和 v 的其他邻接点颜色重复，所以 在 中邻接点数量为 1， 同理。然后我们在 中取一条 到 的路，令其为 P，若 ，那么我们沿着 P 顺次给路上的点染色，设遇到的第一个度数大于 2 的点为 u，注意到 u 的邻接点最多只用了 种颜色，所以 u 可以重新染色，从而使 ， 不连通。

然后我们不难发现，对任意 3 个不同的点 ，，，。

到这里我们对命题的强化工作就已经做完了。

接下来就很简单。首先，如果 v 的邻接点两两相邻，那么命题得证。不妨设 ， 不相邻，在 中取 的邻接点 w，交换 中的颜色。得到的新图中，，矛盾。

至此命题证明完毕。

对于无自环无向图 G，设 满足

令 , 我们取 中的子集 , 其中的元素满足

1. , 其中

2. 若

   则 当且仅当

   2. 与 均不相邻

显然若将 中的点染成第 i 种颜色，则该染色方案即为 Welsh—Powell 算法给出的方案，显然有

我们只需要证明：

其中

上式左边的不等号显然成立，我们考虑右边。

首先我们不难得出：

若 ，则 v 与 中分别至少有一个点相邻，从而有

进而

另一方面，基于序列 的构造方法，我们不难发现

两式结合即得证。

按照顺序在二分图中加边。

我们在尝试加入边 的时候，我们尝试寻找对于 和 的编号最小的尚未被使用过的颜色，假设分别为 和 。

如果 此时我们可以直接将这条边的颜色设置为 。

否则假设 , 我们可以尝试将节点 连出去的颜色为 的边的颜色修改为 。

修改的过程可以被近似的看成是一条从 出发，依次经过颜色为 的边的有限唯一增广路。

因为增广路有限所以我们可以将增广路上所有的边反色，即原来颜色为 的修改为 ，原来颜色为 的修改为 。

根据二分图的性质，节点 不可能为增广路节点，否则与最小未使用颜色为 矛盾。

所以我们可以在增广之后直接将连接 和 的边的颜色设为 。

总构造时间复杂度为 。

本题为笔者于 2018 年命制的集训队第一轮作业题。

首先我们可以发现答案下界为度数不为 k 倍数的点的个数。

下界的构造方法是对二分图进行拆点。

若 , 我们将其拆为 个度数为 k 的节点和一个度数为 的节点。

若 , 我们将其拆为 个度数为 k 的节点。

拆出来的点在原图中的意义相同，也就是说，在满足度数限制的情况下，一条边端点可以连接任意一个拆出来的点。

根据 Vizing 定理，我们显然可以构造出该图的一种 k 染色方案。

删边部分由于和 Vizing 定理关系不大这里不再展开。

有兴趣的读者可以自行阅读笔者当时写的题解。