有向无环图
定义
边有向,无环。
英文名叫 Directed Acyclic Graph,缩写是 DAG。
性质
-
能 拓扑排序 的图,一定是有向无环图;
如果有环,那么环上的任意两个节点在任意序列中都不满足条件了。
-
有向无环图,一定能拓扑排序;
(归纳法)假设节点数不超过
的 有向无环图都能拓扑排序,那么对于节点数等于 的,考虑执行拓扑排序第一步之后的情形即可。
判定
如何判定一个图是否是有向无环图呢?
检验它是否可以进行 拓扑排序 即可。
当然也有另外的方法,可以对图进行一遍 DFS,在得到的 DFS 树上看看有没有连向祖先的非树边(返祖边)。如果有的话,那就有环了。
应用
DP 求最长(短)路
在一般图上,求单源最长(短)路径的最优时间复杂度为
但在 DAG 上,我们可以使用 DP 求最长(短)路,使时间复杂度优化到
拓扑排序后,按照拓扑序遍历每个节点,用当前节点来更新之后的节点。
struct edge {
int v, w;
};
int n, m;
vector<edge> e[MAXN];
vector<int> L; // 存储拓扑排序结果
int max_dis[MAXN], min_dis[MAXN], in[MAXN]; // in 存储每个节点的入度
void toposort() { // 拓扑排序
queue<int> S;
memset(in, 0, sizeof(in));
for (int i = 1; i <= n; i++) {
for (int j = 0; j < e[i].size(); j++) {
in[e[i][j].v]++;
}
}
for (int i = 1; i <= n; i++)
if (in[i] == 0) S.push(i);
while (!S.empty()) {
int u = S.front();
S.pop();
L.push_back(u);
for (int i = 0; i < e[u].size(); i++) {
if (--in[e[u][i].v] == 0) {
S.push(e[u][i].v);
}
}
}
}
void dp(int s) { // 以 s 为起点求单源最长(短)路
toposort(); // 先进行拓扑排序
memset(min_dis, 0x3f, sizeof(min_dis));
memset(max_dis, 0, sizeof(max_dis));
min_dis[s] = 0;
for (int i = 0; i < L.size(); i++) {
int u = L[i];
for (int j = 0; j < e[u].size(); j++) {
min_dis[e[u][j].v] = min(min_dis[e[u][j].v], min_dis[u] + e[u][j].w);
max_dis[e[u][j].v] = max(max_dis[e[u][j].v], max_dis[u] + e[u][j].w);
}
}
}
参见:DAG 上的 DP。
贡献者:@Yufan@Jinglei@mgt@ouuan@Ir1d@HeRaNO
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