随机变量

相关概念

随机变量

给定概率空间 ，定义在样本空间 上的函数 若满足：对任意 都有

则称 为 随机变量。

示性函数

对于样本空间 上的事件 ，定义随机变量

称 是事件 的 示性函数。

分布函数

对于随机变量 ，称函数

为随机变量 的 分布函数。记作 。

分布函数具有以下性质：

• 右连续性：
• 单调性：在 上单调递增（非严格）
• ,

同时我们可以证明，满足上述要求的函数都是某个随机变量的分布函数。因此，分布函数与随机变量之间一一对应。

随机变量的分类

随机变量按其值域（根据定义，随机变量是一个函数）是否可数分为 离散型 和 连续型 两种。

离散型随机变量

设 为离散型随机变量，其所有可能的取值为 ，则我们可以用一系列形如 的等式来描述 。这就是我们在高中课本中学过的 分布列。

连续型随机变量

设 为离散型随机变量，考察 往往是无意义的（因为这一概率很可能是 ）。

另一方面，设 ，则

一个自然的想法是用极限 来描述 取值为 的可能性。

这个式子就是我们熟知的导数，于是问题转化为寻找一个非负函数 使得

若这样的 存在，则称之为 的 密度函数。

随机变量的独立性

前面讨论了随机事件的独立性。由于随机变量和随机事件紧密联系，我们还可以类似地给出随机变量独立性的定义。

定义

若随机变量 满足对任意的 都有

则称随机变量 独立。

性质

若随机变量 , 相互独立，则对于任意函数 ，随机变量 与 相互独立。