随机变量的数字特征

本文将介绍随机变量的期望、方差等数字特征。

期望

定义

离散型随机变量

设离散型随机变量 的概率分布为 ，若和式

绝对收敛，则称其值为 的 期望，记作 。

连续型随机变量

设连续型随机变量 的密度函数为 。若积分

绝对收敛，则称其值为 的 期望，记作 。

统一定义

设随机变量 的分布函数为 ，若 Stieltjes 积分

绝对收敛，则称其值为 的 期望，记作 。

期望的性质

线性性

若随机变量 的期望存在，则

• 对任意实数 ，有 。
• 。

随机变量乘积的期望

若随机变量 , 的期望存在且 , 相互独立，则有

注意：上述性质中的独立性 并非 必要条件。

期望与概率的转化

对于随机事件 ，考虑其示性函数 ：

根据定义可以求得其期望 。这一转化在实际应用中非常常见。

条件分布与条件期望

我们之前研究过条件概率，类似的也可以提出所谓条件期望的概念。

定义

对于两个随机变量 ,，在已知 的条件下 的概率分布（密度函数）称之为 条件概率分布（条件概率密度），分别记作

在此条件下， 的期望称为 条件期望，记作 。

条件期望的性质

条件期望的诸多性质可由条件概率推知，在此不做赘述。

值得一提的是 一般是随机变量 的函数，且这个函数通常不是线性的。但实际上有

上式称作 全期望公式。

应用

例题：[LA 7736]Pocky

题意：有一根长为 的 Pocky，每次随机折成两段。若右边一段的长度不大于 则停止，否则对右边一段重复上述过程。求重复次数的期望。

方差

定义

设随机变量 的期望 存在且期望

也存在，则称上式的值为随机变量 的 方差，记作 或 。方差的算术平方根称为 标准差，记作 。

方差的性质

若随机变量 的方差存在，则

• 对任意常数 都有

协方差与相关系数

一般来说，等式 并不成立，我们自然会提出两个问题：

• 与 之间相差的部分到底是什么。
• 与 在什么情况下相等。

对于第一个问题，我们引入协方差作为解答。

协方差的定义

对于随机变量 ，称

为 与 的 协方差，记作 。

协方差的性质

对于随机变量 ，有

• 对任意常数 ，有

同时协方差与方差也有如下联系：

对于刚才提出的第二个问题，不难看出 当且仅当 。一个直观的必要条件是 与 独立，因为此时有

但这个条件并不是充分的。为了描述满足 的随机变量 , 之间的关系，我们引入相关系数

相关系数

对于随机变量 ，称

为 与 的 Pearson 相关系数，记作 。

Pearson 相关系数描述了两个随机变量之间线性关联的紧密程度。 越大，则 与 之间的线性关联程度越强。不难证明 ，且 仅可能出现在以下两种情况

• 当存在实数 和正实数 使得 时，有 ；
• 当存在实数 和负实数 使得 时，有 。

当 时我们称随机变量 与 不相关，此时 和 之间不存在线性关系。

对于这一小节开头提到的第二个问题，我们给出结论： 的充要条件就是 , 中的某一个以概率 取常值，或 不相关。