线段树套平衡树
常见用途
在算法竞赛中，我们有时需要维护多维度信息。在这种时候，我们经常需要树套树来记录信息。当需要维护前驱，后继，第
过程
我们以 二逼平衡树 为例，来解释实现原理。
关于树套树的构建，我们对于外层线段树正常建树，对于线段树上的某一个节点，建立一棵平衡树，包含该节点所覆盖的序列。具体操作时我们可以将序列元素一个个插入，每经过一个线段树节点，就将该元素加入到该节点的平衡树中。
操作一，求某区间中某值的排名：我们对于外层线段树正常操作，对于在某区间中的节点的平衡树，我们返回平衡树中比该值小的元素个数，合并区间时，我们将小的元素个数求和即可。最后将返回值
操作二，求某区间中排名为
操作三，将某个数替换为另外一个数：我们只要在所有包含某数的平衡树中删除某数，然后再插入另外一个数即可。外层依旧正常线段树操作。
操作四，求某区间中某值的前驱：我们对于外层线段树正常操作，对于在某区间中的节点的平衡树，我们返回某值在该平衡树中的前驱，线段树的区间结果合并时，我们取最大值即可。
性质
空间复杂度
我们每个元素加入
时间复杂度
- 对于 1，3，4 操作，我们考虑我们在外层线段树上进行
- 对于 2 操作，多一个二分过程，为
经典例题
二逼平衡树 外层线段树，内层平衡树。
实现
平衡树部分代码请参考 Splay 等其他条目。
操作一：
int vec_rank(int k, int l, int r, int x, int y, int t) {
if (x <= l && r <= y) {
return spy[k].chk_rank(t);
}
int mid = l + r >> 1;
int res = 0;
if (x <= mid) res += vec_rank(k << 1, l, mid, x, y, t);
if (y > mid) res += vec_rank(k << 1 | 1, mid + 1, r, x, y, t);
if (x <= mid && y > mid) res--;
return res;
}操作二：
int el = 0, er = 100000001, emid;
while (el != er) {
emid = el + er >> 1;
if (vec_rank(1, 1, n, tl, tr, emid) - 1 < tk)
el = emid + 1;
else
er = emid;
}
printf("%d\n", el - 1);操作三：
void vec_chg(int k, int l, int r, int loc, int x) {
int t = spy[k].find(dat[loc]);
spy[k].dele(t);
spy[k].insert(x);
if (l == r) return;
int mid = l + r >> 1;
if (loc <= mid) vec_chg(k << 1, l, mid, loc, x);
if (loc > mid) vec_chg(k << 1 | 1, mid + 1, r, loc, x);
}操作四：
int vec_front(int k, int l, int r, int x, int y, int t) {
if (x <= l && r <= y) return spy[k].chk_front(t);
int mid = l + r >> 1;
int res = 0;
if (x <= mid) res = max(res, vec_front(k << 1, l, mid, x, y, t));
if (y > mid) res = max(res, vec_front(k << 1 | 1, mid + 1, r, x, y, t));
return res;
}相关算法
面对多维度信息的题目时，如果题目没有要求强制在线，我们还可以考虑 CDQ 分治，或者 整体二分 等分治算法，来避免使用高级数据结构，减少代码实现难度。
贡献者：@WenzelTian@huaruoji@mgt@ouuan@sshwy@Ir1d@Chro
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