单调队列

引入

在学习单调队列前，让我们先来看一道例题。

最暴力的想法很简单，对于每一段 的序列，逐个比较来找出最大值（和最小值），时间复杂度约为 。

很显然，这其中进行了大量重复工作，除了开头 个和结尾 个数之外，每个数都进行了 次比较，而题中 的数据为 ，当 稍大的情况下，显然会 TLE。

这时所用到的就是单调队列了。

定义

顾名思义，单调队列的重点分为「单调」和「队列」。

「单调」指的是元素的「规律」——递增（或递减）。

「队列」指的是元素只能从队头和队尾进行操作。

Ps. 单调队列中的 "队列" 与正常的队列有一定的区别，稍后会提到

例题分析

解释

有了上面「单调队列」的概念，很容易想到用单调队列进行优化。

要求的是每连续的 个数中的最大（最小）值，很明显，当一个数进入所要 "寻找" 最大值的范围中时，若这个数比其前面（先进队）的数要大，显然，前面的数会比这个数先出队且不再可能是最大值。

也就是说——当满足以上条件时，可将前面的数 "弹出"，再将该数真正 push 进队尾。

这就相当于维护了一个递减的队列，符合单调队列的定义，减少了重复的比较次数，不仅如此，由于维护出的队伍是查询范围内的且是递减的，队头必定是该查询区域内的最大值，因此输出时只需输出队头即可。

显而易见的是，在这样的算法中，每个数只要进队与出队各一次，因此时间复杂度被降到了 。

而由于查询区间长度是固定的，超出查询空间的值再大也不能输出，因此还需要 site 数组记录第 个队中的数在原数组中的位置，以弹出越界的队头。

过程

例如我们构造一个单调递增的队列会如下：

原序列为：

1 3 -1 -3 5 3 6 7

因为我们始终要维护队列保证其 递增 的特点，所以会有如下的事情发生：

Ps. 此处的 "队列" 跟普通队列的一大不同就在于可以从队尾进行操作，STL 中有类似的数据结构 deque。

将所有水滴按照 坐标排序之后，题意可以转化为求一个 坐标差最小的区间使得这个区间内 坐标的最大值和最小值之差至少为 。我们发现这道题和上一道例题有相似之处，就是都与一个区间内的最大值最小值有关，但是这道题区间的大小不确定，而且区间大小本身还是我们要求的答案。

我们依然可以使用一个递增，一个递减两个单调队列在 不断后移时维护 内的最大值和最小值，不过此时我们发现，如果 固定，那么 内的最大值只会越来越大，最小值只会越来越小，所以设 ，则 是个关于 的递增函数，故 。这说明对于每个固定的 ，向右第一个满足条件的 就是最优答案。 所以我们整体求解的过程就是，先固定 ，从前往后移动 ，使用两个单调队列维护 的最值。当找到了第一个满足条件的 ，就更新答案并将 也向后移动。随着 向后移动，两个单调队列都需及时弹出队头。这样，直到 移到最后，每个元素依然是各进出队列一次，保证了 的时间复杂度。