向量

在本文之前，特别说明一下翻译的相关问题。由于历史原因，数学学科和物理学科关于“vector”一词的翻译不同。

在物理学科，一般翻译成“矢量”，并且与“标量”一词相对。在数学学科，一般翻译成“向量”。这种翻译的差别还有“本征”与“特征”、“幺正”与“酉”，等等。

在 OI Wiki，主要面向计算机等工程类相关学科，与数学学科关系更近一些，因此采用“向量”这个词汇。

定义及相关概念

向量：既有大小又有方向的量称为向量。数学上研究的向量为 自由向量，即只要不改变它的大小和方向，起点和终点可以任意平行移动的向量。记作 或 。

有向线段：带有方向的线段称为有向线段。有向线段有三要素：起点，方向，长度，知道了三要素，终点就唯一确定。一般使用有向线段表示向量。

向量的模：有向线段 的长度称为向量的模，即为这个向量的大小。记为： 或 。

零向量：模为 的向量。零向量的方向任意。记为： 或 。

单位向量：模为 的向量称为该方向上的单位向量。一般记为 或 。

平行向量：方向相同或相反的两个 非零 向量。记作：。对于多个互相平行的向量，可以任作一条直线与这些向量平行，那么任一组平行向量都可以平移到同一直线上，所以平行向量又叫 共线向量。

相等向量：模相等且方向相同的向量。

相反向量：模相等且方向相反的向量。

向量的夹角：已知两个非零向量 ，作 ，那么 就是向量 与向量 的夹角。记作：。显然当 时两向量同向， 时两向量反向， 时两向量垂直，记作 ，并且规定 。

注意到平面向量具有方向性，两个向量不能比较大小（但可以比较两向量的模长）。但是两个向量可以相等。

向量的线性运算

向量的加减法

在定义了一种量之后，就希望让它具有运算。向量的运算可以类比数的运算，从物理学的角度出发也可以研究向量的运算。

类比物理学中的位移概念，假如一个人从 经 走到 ，那么他经过的位移为 ，这其实等价于这个人直接从 走到 ，即 。

注意到力的合成法则——平行四边形法则，同样也可以看做一些向量相加。

整理一下向量的加法法则：

1. 向量加法的三角形法则：若要求和的向量首尾顺次相连，那么这些向量的和为第一个向量的起点指向最后一个向量的终点；
2. 向量加法的平行四边形法则：若要求和的两个向量 共起点，那么它们的和向量为以这两个向量为邻边的平行四边形的对角线，起点为两个向量共有的起点，方向沿平行四边形对角线方向。

这样，向量的加法就具有了几何意义。并且可以验证，向量的加法满足 交换律与结合律。

因为实数的减法可以写成加上相反数的形式，考虑在向量做减法时也这么写。即：。

这样，考虑共起点的向量，按照平行四边形法则做出它们的差，经过平移后可以发现 「共起点向量的差向量」是由「减向量」指向「被减向量」的有向线段。这也是向量减法的几何意义。

有时候有两点 ，想知道 ，可以利用减法运算 获得。

向量的数乘

规定「实数 与向量 的积」为一个向量，这种运算就是向量的 数乘运算，记作 ，它的长度与方向规定如下：

1. ；
2. 当 时， 与 同向，当 时，，当 时， 与 方向相反。

根据数乘的定义，可以验证有如下运算律：

特别地：

判定两向量共线

两个 非零 向量 与 共线 有唯一实数 ，使得 。

证明：由数乘的定义可知，对于 非零 向量 ，如果存在实数 ，使得 ，那么 。

反过来，如果 ，，且 ，那么当 与 同向时，，反向时 。

最后，向量的加，减，数乘统称为向量的线性运算。

平面向量的基本定理及坐标表示

平面向量基本定理

定理内容：如果两个向量 不共线，那么存在唯一实数对 ，使得与 共面的任意向量 满足 。

平面向量那么多，怎样用尽可能少的量表示出所有平面向量？

只用一个向量表示出所有向量显然是不可能的，最多只能表示出某条直线上的向量。

再加入一个向量，用两个 不共线 向量表示（两个共线向量在此可以看成同一个向量），这样可以把任意一个平面向量分解到这两个向量的方向上了。

在同一平面内的两个不共线的向量称为 基底。如果基底相互垂直，那么在分解的时候就是对向量 正交分解。

平面向量的坐标表示

如果取与横轴与纵轴方向相同的单位向量 作为一组基底，根据平面向量基本定理，平面上的所有向量与有序实数对 一一对应。

而有序实数对 与平面直角坐标系上的点一一对应，于是作 ，那么终点 也是唯一确定的。由于研究的对象是自由向量，可以自由平移起点，这样，在平面直角坐标系里，每一个向量都可以用有序实数对唯一表示。

平面向量的坐标运算

平面向量线性运算

由平面向量的线性运算可以推导其坐标运算，主要方法是将坐标全部化为用基底表示，然后利用运算律进行合并，之后表示出运算结果的坐标形式。

若两向量 ，，则：

求一个向量的坐标表示

已知两点 ，易证 。

平移一点

有时需要将一个点 沿一定方向平移某单位长度，这样把要平移的方向和距离组合成一个向量，利用向量加法的三角形法则，将 加上这个向量，得到的向量终点即为平移后的点。

三点共线的判定

若 三点共线，则 。

三点共线判定的拓展

在三角形 中，若 为 的 等分点（），则有：

在三维空间中的拓展（立体几何/空间向量）

在空间中，以上部分所述的所有内容均成立。更有：

空间向量基本定理

定理内容：如果两个向量 不共面，那么存在唯一实数对 ，使得空间中任意向量 满足 。 根据空间向量基本定理，我们同样可以使用三个相互垂直的基底 作为正交基底，建立 空间直角坐标系 并用一个三元组 作为坐标表示空间向量。

共面向量基本定理

如果存在两个不共线的向量 , 则向量 与 共面的充要条件是存在唯一实数对 使得 。

法向量

对于一个面 ，其法向量 与这个面垂直。

计算方法：任取两个面内直线 ，使得 且 ，利用坐标法即可计算。

扩展

向量与矩阵

矩阵运算的相关法则与向量运算相似，于是考虑将向量写成矩阵形式，这样就将向量问题化为矩阵问题了。详细内容请参考线性代数。

向量旋转

设 ，倾角为 ，长度为 。则 。令其逆时针旋转 度角，得到向量 。

由三角恒等变换得，

化简，

把上面的 代回来得

即使不知道三角恒等变换，这个式子也很容易记下来。

向量的更严格定义

上文中，向量被定义为了空间中的有向线段。但是严格来说，向量不仅是有向线段。要作出向量的更严格定义，需要先定义

线性空间，具体内容参见

线性空间 页面的介绍。