快速幂


定义

快速幂,二进制取幂(Binary Exponentiation,也称平方法),是一个在 的时间内计算 的小技巧,而暴力的计算需要 的时间。

这个技巧也常常用在非计算的场景,因为它可以应用在任何具有结合律的运算中。其中显然的是它可以应用于模意义下取幂、矩阵幂等运算,我们接下来会讨论。

解释

计算 次方表示将 乘在一起:。然而当 太大的时侯,这种方法就不太适用了。不过我们知道:。二进制取幂的想法是,我们将取幂的任务按照指数的 二进制表示 来分割成更小的任务。

过程

首先我们将 表示为 2 进制,举一个例子:

因为 个二进制位,因此当我们知道了 后,我们只用计算 次乘法就可以计算出

于是我们只需要知道一个快速的方法来计算上述 3 的 次幂的序列。这个问题很简单,因为序列中(除第一个)任意一个元素就是其前一个元素的平方。举一个例子:

因此为了计算 ,我们只需要将对应二进制位为 1 的整系数幂乘起来就行了:

将上述过程说得形式化一些,如果把 写作二进制为 ,那么有:

其中 。那么就有

根据上式我们发现,原问题被我们转化成了形式相同的子问题的乘积,并且我们可以在常数时间内从 项推出 项。

这个算法的复杂度是 的,我们计算了 次幂的数,然后花费 的时间选择二进制为 1 对应的幂来相乘。

实现

首先我们可以直接按照上述递归方法实现:

=== "C++"

```cpp
long long binpow(long long a, long long b) {
  if (b == 0) return 1;
  long long res = binpow(a, b / 2);
  if (b % 2)
    return res * res * a;
  else
    return res * res;
}
```

=== "Python"

```python
def binpow(a, b):
    if b == 0:
        return 1
    res = binpow(a, b // 2)
    if (b % 2) == 1:
        return res * res * a
    else:
        return res * res
```

第二种实现方法是非递归式的。它在循环的过程中将二进制位为 1 时对应的幂累乘到答案中。尽管两者的理论复杂度是相同的,但第二种在实践过程中的速度是比第一种更快的,因为递归会花费一定的开销。

=== "C++"

```cpp
long long binpow(long long a, long long b) {
  long long res = 1;
  while (b > 0) {
    if (b & 1) res = res * a;
    a = a * a;
    b >>= 1;
  }
  return res;
}
```

=== "Python"

```python
def binpow(a, b):
    res = 1
    while b > 0:
        if (b & 1):
            res = res * a
        a = a * a
        b >>= 1
    return res
```

模板:Luogu P1226

应用

模意义下取幂

计算

这是一个非常常见的应用,例如它可以用于计算模意义下的乘法逆元。

既然我们知道取模的运算不会干涉乘法运算,因此我们只需要在计算的过程中取模即可。

=== "C++"

```cpp
long long binpow(long long a, long long b, long long m) {
  a %= m;
  long long res = 1;
  while (b > 0) {
    if (b & 1) res = res * a % m;
    a = a * a % m;
    b >>= 1;
  }
  return res;
}
```

=== "Python"

```python
def binpow(a, b, m):
    a = a % m
    res = 1
    while b > 0:
        if (b & 1):
            res = res * a % m
        a = a * a % m
        b >>= 1
    return res
```

注意:根据费马小定理,如果 是一个质数,我们可以计算 来加速算法过程。

计算斐波那契数

计算斐波那契数列第

根据斐波那契数列的递推式 ,我们可以构建一个 的矩阵来表示从 的变换。于是在计算这个矩阵的 次幂的时侯,我们使用快速幂的思想,可以在 的时间内计算出结果。对于更多的细节参见

斐波那契数列

多次置换

给你一个长度为 的序列和一个置换,把这个序列置换 次。

简单地把这个置换取 次幂,然后把它应用到序列 上即可。时间复杂度是 的。

注意:给这个置换建图,然后在每一个环上分别做 次幂(事实上做一下 对环长取模的运算即可)可以取得更高效的算法,达到 的复杂度。

加速几何中对点集的操作

引入

三维空间中, 个点 ,要求将 个操作都应用于这些点。包含 3 种操作:

  1. 沿某个向量移动点的位置(Shift)。
  2. 按比例缩放这个点的坐标(Scale)。
  3. 绕某个坐标轴旋转(Rotate)。

还有一个特殊的操作,就是将一个操作序列重复 次(Loop),这个序列中也可能有 Loop 操作(Loop 操作可以嵌套)。现在要求你在低于 的时间内将这些变换应用到这个 个点,其中 表示把所有的 Loop 操作展开后的操作序列的长度。

解释

让我们来观察一下这三种操作对坐标的影响:

  1. Shift 操作:将每一维的坐标分别加上一个常量;
  2. Scale 操作:把每一维坐标分别乘上一个常量;
  3. Rotate 操作:这个有点复杂,我们不打算深入探究,不过我们仍然可以使用一个线性组合来表示新的坐标。

可以看到,每一个变换可以被表示为对坐标的线性运算,因此,一个变换可以用一个 的矩阵来表示:

使用这个矩阵就可以将一个坐标(向量)进行变换,得到新的坐标(向量):

你可能会问,为什么一个三维坐标会多一个 1 出来?原因在于,如果没有这个多出来的 1,我们没法使用矩阵的线性变换来描述 Shift 操作。

过程

接下来举一些简单的例子来说明我们的思路:

  1. Shift 操作:让 坐标方向的位移为 坐标的位移为 坐标的位移为

  2. Scale 操作:把 坐标拉伸 10 倍, 坐标拉伸 5 倍:

  3. Rotate 操作:绕 轴旋转 弧度,遵循右手定则(逆时针方向)

现在,每一种操作都被表示为了一个矩阵,变换序列可以用矩阵的乘积来表示,而一个 Loop 操作相当于取一个矩阵的 k 次幂。这样可以用 计算出整个变换序列最终形成的矩阵。最后将它应用到 个点上,总复杂度

定长路径计数

给一个有向图(边权为 1),求任意两点 间从 ,长度为 的路径的条数。

我们把该图的邻接矩阵 M 取 k 次幂,那么 就表示从 长度为 的路径的数目。该算法的复杂度是 。有关该算法的细节请参见

矩阵 页面。

模意义下大整数乘法

计算

与二进制取幂的思想一样,这次我们将其中的一个乘数表示为若干个 2 的整数次幂的和的形式。因为在对一个数做乘 2 并取模的运算的时侯,我们可以转化为加减操作防止溢出。这样仍可以在 的时内解决问题。递归方法如下:

快速乘

但是 的“龟速乘”还是太慢了,这在很多对常数要求比较高的算法比如 Miller_Rabin 和 Pollard-Rho 中,就显得不够用了。所以我们要介绍一种可以处理模数在 long long 范围内、不需要使用黑科技 __int128 的、复杂度为 的“快速乘”。

我们发现:

我们巧妙运用 unsigned long long 的自然溢出:

于是在算出 后,两边的乘法和中间的减法部分都可以使用 unsigned long long 直接计算,现在我们只需要解决如何计算

我们考虑先使用 long double 算出 再乘上

既然使用了 long double,就无疑会有精度误差。极端情况就是第一个有效数字(二进制下)在小数点后一位。在 x86-64 机器下,long double 将被解释成 位拓展小数(即符号为 位,指数为 位,尾数为 位),所以 long double 最多能精确表示的有效位数为 1。所以 最差从第 位开始出错,误差范围为 。乘上 这个 位整数,误差范围为 ,再加上 误差范围为 ,取整后误差范围位 。于是乘上 后,误差范围变成 ,我们需要判断这两种情况。

因为 long long 范围内,所以如果计算结果 时,直接返回 ,否则返回 ,当然你也可以直接返回

代码实现如下:

高精度快速幂

请先学习

高精度

题目大意:从文件中输入 P(1000<P<3100000),计算 的最后 100 位数字(用十进制高精度数表示),不足 100 位时高位补 0。

代码实现如下:

同一底数与同一模数的预处理快速幂

在同一底数与同一模数的条件下,可以利用分块思想,用一定的时间(一般是 )预处理后用 的时间回答一次幂询问。

过程

  1. 选定一个数 ,预处理出 的值并存在一个(或两个)数组里;
  2. 对于每一次询问 ,将 拆分成 ,则 ,可以 求出答案。

关于这个数 的选择,我们一般选择 或者一个大小适当的 的次幂(选择 可以使预处理较优,选择 的次幂可以使用位运算优化/简化计算)。

习题

参考资料与注释

Footnotes

  1. 参见 C 语言小数表示法 - 维基百科

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