图匹配

匹配 或是 独立边集 是一张图中没有公共边的集合。 在二分图中求匹配等价于网路流问题。

图匹配算法是信息学竞赛中常用的算法，总体分为最大匹配以及最大权匹配，先从二分图开始介绍，在进一步提出一般图的作法。

图的匹配

在图论中，假设图 ，其中 是点集， 是边集。

一组两两没有公共点的边集 称为这张图的 匹配。

定义匹配的大小为其中边的数量 ，其中边数最大的 为 最大匹配。

当图中的边带权的时候，边权和最大的为 最大权匹配。

匹配中的边称为 匹配边，反之称为 未匹配边。

一个点如果属于 且为至多一条边的端点，称为 匹配点，反之称为 未匹配点。

• maximal matching: 无法再增加匹配边的匹配。不见得是最大匹配。

• 最大匹配（maximum matching): 匹配数最多的匹配。

• 完美匹配（perfect matching): 所有点都属于匹配，同时也符合最大匹配。

• 近完美匹配（near-perfect matching): 发生在图的点数为奇数，刚好只有一个点不在匹配中，扣掉此点以后的图称为 factor-critical graph。

  maximal matching 最大匹配

二分图匹配

一张二分图上的匹配称作二分匹配

设 为二分图，若在 的子图 中，任意两条边都没有公共节点，那么称 为二分图 的一个匹配，且 的边数为匹配数。

完美匹配

设 为二分图，， 为 中一个最大匹配，且 ，则称 为 到 的完美匹配。

霍尔定理

设二分图 ，则 中存在 到 的完美匹配当且仅当对于任意的 ，均有 ，其中 ，是 的邻域。

最大匹配

寻找二分图边数最大的匹配称为最大匹配问题。

算法

组合优化中的一个基本问题是求 最大匹配（maximum matching)。

二分图最大匹配

详见

二分图最大匹配 页面。

在无权二分图中，Hopcroft-Karp 算法可在 解决。

二分图最大权匹配

详见

二分图最大权匹配 页面。

在带权二分图中，可用 Hungarian 算法解决。 如果在最短路搜寻中用 Bellman–Ford 算法，时间复杂度为 ， 如果用 Dijkstra 算法或 Fibonacci heap，可用 解决。

一般图最大匹配

详见

一般图最大匹配 页面。

无权一般图中，Edmonds' blossom 算法可在 解决。

一般图最大权匹配

详见

一般图最大权匹配 页面。

带权一般图中，Edmonds' blossom 算法可在 解决。

参考资料

• [1]Wikiwand - Matching (graph theory)
• [2]Wikiwand - Blossom algorithm
• [3]2015 年《浅谈图的匹配算法及其应用》- 陈胤伯
• [4]演算法笔记 - Matching
• [5]the-tourist/algo
• [6]Bill Yang's Blog - 带花树学习笔记
• [7]二分图的最大匹配、完美匹配和匈牙利算法
• [8]Wikiwand - Hopcroft–Karp algorithm