内积和外积

本文介绍向量之间的简单运算。

在本文之前，特别说明一下翻译的相关问题。由于历史原因，数学学科和物理学科关于“inner product”和“outer product”两个词汇有着五花八门的翻译。

在物理学科，一般翻译成“标积”和“矢积”，表示运算的结果为标量和矢量。高中数学课本上“数量积”和“向量积”也采用了这种意译的办法。

在数学学科，通常也可以翻译成“内积”和“外积”，是两个名词的直译。“点乘”和“叉乘”是根据运算符号得来的俗称，这种俗称也很常见。

在“点乘”运算中，经常省略运算的点符号，在线性代数中更是会直接看作矩阵乘法，不写点符号。

内积

内积的概念 对于任意维数的向量都适用。

已知两个向量 ，它们的夹角为 ，那么：

就是这两个向量的 内积，也叫 点积 或 数量积。其中称 为 在 方向上的投影。内积的几何意义即为：内积 等于 的模与 在 方向上的投影的乘积。

可以发现，这种运算得到的结果是一个标量，并不属于向量的线性运算。

在不引起混淆的情况下，内积的点号可以省略不写。如果在向量的右上角有上角标 ，表示向量与自身内积的简写，即 向量模长的平方，省略模长记号。该上角标 不可以理解为向量的平方，这是因为，向量内积的结果为标量，不存在除了 以外任何个数的向量的内积。同理，向量模长平方的平方，不可以简写为上角标 ，而是必须将上角标 的结果视为一个整体，以此类推。

内积满足交换律，即：

互相垂直的两个向量的内积，结果为 。向量与零向量内积，结果为 。

内积运算有以下应用：

判定两向量垂直

判定两向量共线

数量积的坐标运算

若 则

向量的模

两向量的夹角

二阶与三阶行列式

二阶与三阶行列式，可以作为行列式的较为简单的情形特殊定义。在微积分的最后一个部分场论部分，格林公式用到了二阶行列式，高斯公式用到了点乘，斯托克斯公式用到了三阶行列式。

二阶行列式可以视为四元函数，定义为：

三阶行列式可以视为九元函数，的定义为：

一种特殊的记忆方法是采用“对角线法则”，对角线法则只适用于二阶与三阶行列式。

特别注意：四阶行列式展开后共有 24 项，并且副对角线一项的符号为正。如果强行应用三阶行列式的“对角线法则”，不仅项数不够，副对角线一项的符号也不正确，因此三阶行列式的“对角线法则”不适用于更高阶的行列式，更高阶的行列式也不适合使用直接展开法计算。

外积

外积是 三维向量特有的运算。

在物理学中，三维向量为默认与空间位置相关的向量，一律采用粗体表示。然而，物理学中与相对论相关的四维向量不会采用粗体，而是使用特殊的记号与下标。

在线性代数中，所有的向量都会用粗体表示，并且由于麻烦，并且线性代数中大多为向量与矩阵的运算，很难造成歧义，在手写时可以省略向量记号不写。

定义向量 的外积为一个向量，记为 ，其模与方向定义如下：

1. ；
2. 与 都垂直，且 符合右手法则。

注意到外积的模，联想到三角形面积计算公式 ，可以发现外积的几何意义是： 是以 为邻边的平行四边形的面积。

两个向量 ， 外积的结果是一个向量 。记作 。

向量的外积可以使用三阶行列式表示：

其中 表示和坐标轴 平行的单位向量，并写在对应坐标处。展开得 。

对于二维向量，无法计算外积，但是仍然可以计算两向量张成的平行四边形面积：

记 ，将平面直角坐标系扩充为空间直角坐标系，原平面位于新坐标系的 xOy 平面，原本的坐标 和 变为 和 ，那么两个向量的外积为 ，因此平行四边形面积为 ，可以视为二阶行列式运算的结果。此时，根据右手法则和竖坐标符号，可以推断出 相对于 的方向，若在逆时针方向竖坐标为正值，反之为负值，简记为 顺负逆正。

外积满足 反交换律，即：

共线的两个三维向量的外积，结果为 。三维向量与自身外积，结果为 。三维向量与零向量外积，结果为 。

根据上文的两个定义：

可以写出恒等式：

混合积

与外积一样，向量的混合积是 三维向量特有的运算。

设 是空间中三个向量，则 称为三个向量 的混合积，记作 或 或 。混合积的绝对值 的几何意义表示以 为棱的平行六面体的体积。

向量的混合积可以使用三阶行列式表示：

向量的混合积可以用来计算四面体的体积：

混合积 的符号是正还是负，取决于 与 形成的夹角是锐角还是钝角，即指向 与 张成平面的同侧还是异侧，这相当于 、、 三个向量依序构成右手系还是左手系。

有定理：三个三维向量 、、 共面的充分必要条件是 。

混合积有性质：

二重外积

三维向量的混合积是内积与外积的混搭，具有轮换对称性。三维向量和三维向量的外积还是三维向量，那么外积的外积是否存在相关结论？

先证明一个引理。

证明：由右手定则， 与 和 都垂直，待证等式左端与 垂直，因此待证等式左端与 和 共面。

因此可以假设：

根据混合积的相关结论，上式两端同时对于 和 分别做内积，有：

由前文推出的恒等式：

可以解得：

证毕。

在上文的证明中提到， 与任意向量叉乘，得到的向量与 和 共面。接下来证明 二重外积 的结论：

上述共面性有助于二重外积结论的记忆。可见，上文的引理为二重外积的特殊情况。

证明：这里只需考虑三个向量均为非零且不共线的情况，其他特例为显然的。

三维向量 、 和 不共面，因此可以假设：

所以有：

根据上文的引理有：

因此有：

证毕。

根据外积的反交换性，可以得到二重外积的两个公式：

可见，二重外积对于运算顺序有着严格的要求。

借助混合积与二重外积，还可以证明拉格朗日的恒等式。

证明：

可见，前文的恒等式

是拉格朗日的恒等式的特殊情形。