对角化

特征子空间

矩阵 的属于 的全部特征向量，再添上零向量，构成一个线性空间，称为矩阵 的一个特征子空间，记为 。它是齐次线性方程组：

的解空间。

对于特征子空间 ，由亏加秩定理有：

因此，特征子空间 的维数为：

也称为 的 几何重数。

不变子空间

在研究线性变换 的时候，常常希望选取空间 的一个基，使得线性变换 对于这个基的矩阵具有尽可能简单的形状。

设 是数域 上的线性空间， 是 的一个子空间， 是 上的一个线性变换。如果对于 中任意的向量 ，都有 也在 中（也称为空间在变换下不变或稳定），称 是 的一个不变子空间。

空间在变换下不变，并不是说坐标在变换下真的“不变”，有可能是进行了一个拉伸等变形，只是变形后还落在空间里。

• 线性空间 的任意一个子空间都是数乘变换的不变子空间。
• 对于 中任意的线性变换 ，空间 和零子空间都是 的不变子空间，称为平凡不变子空间。
• 不变子空间的交与和也是不变子空间。

设 是线性变换 的一个不变子空间。只考虑 在不变子空间 上的作用，就得到子空间 本身的线性变换，称为 在子空间 上的限制，记作 。

对于 中任意的线性变换 ，像空间 与核空间 是 的不变子空间。这两种情况的含义是，空间 在变换前后，完成了自身的压缩（像空间），或者压缩到 （核空间）。

对于 中任意的线性变换 ， 的特征子空间是 的不变子空间。

准素分解

根据代数基本定理，最小多项式可以分解为：

考虑最小多项式代入变元 为矩阵 后，各个因式的核空间，构成矩阵 的一系列不变子空间：

定理：该不变子空间 的维数，恰好为特征值 的代数重数。

回顾一下，代数重数是指特征多项式各个因式的次数，几何重数是指特征子空间 的维数。这个不变子空间 与特征子空间 ，两者都是矩阵的核空间，并且两个矩阵构成最小多项式 次幂的关系。也就是说，特征子空间的维数是几何重数，“特征子空间”经过最小多项式 次幂后到达一个“不变子空间”，不变子空间的维数到达了特征多项式的代数重数。

该定理其实是下面准素分解定理的推论。

记矩阵 对应的线性变换 ，在每个子空间 上的限制 。于是 的最小多项式是 。

定理：设 是域 上的线性空间， 是 上的一个线性变换。那么空间 可以关于线性变换 进行准素分解，拆成若干不变子空间 的直和。

这意味着， 在某组基下的矩阵是准对角阵：

其中， 是 在对应基下的矩阵。

该定理表明，可以使用不变子空间简化线性变换的矩阵。

可对角化矩阵

对于 阶方阵 ，如果相似于一个对角阵，则称 为可对角化矩阵，或称单纯矩阵。

• 对角阵的和、积、逆，如果存在，仍然是对角阵，其对角线上的元素就是它的特征值。
• 线性变换 的矩阵为可对角化矩阵，等价于 在某组基下的矩阵为对角阵。

定理：设矩阵 的全部互异特征根为 ，则以下命题等价：

• 矩阵 可对角化。
• 矩阵 有 个线性无关的特征向量。
• 以下公式成立：

前文已经指出，特征多项式的分解式中特征值的次数称为代数重数，特征子空间的维数称为几何重数。这个定理也表明，矩阵 可对角化，等价于 的每个特征值 的代数重数都等于它的几何重数。

推论：如果 阶方阵 恰有 个互异特征值，则它必可对角化。反之则不一定。

定理：矩阵 可对角化当且仅当 的最小多项式没有重根。

矩阵的相似也会保持特征向量之间的线性相关关系不变。

特征向量完全可能不是实数，也完全可能找不到 个线性无关的特征向量。

对于重特征值而言，特征向量张成空间。为了描述这个空间，需要从其中选择代表。一般会选择线性无关的代表，代表的个数就是空间的维数。

选取代表时，常常将它们正交化与单位化。最终得到的就是一套单位正交的代表。

特征向量不一定正交，不同特征值的特征向量，可能无法正交。因此正交化只能对于重特征值的特征向量进行。但是单位化可以对任意特征向量进行。

幂零矩阵

设 是空间 的一个线性变换。如果存在一个正整数 ，使得 为零变换，称 是空间 的一个幂零变换。

对于某一个正整数 ，满足条件 的矩阵称为幂零矩阵。

一般可以进一步假定 是使 为零变换的最小正整数，于是 的最小多项式是 。于是存在一个向量 ，使得：

循环子空间

定理：设 是空间 的一个线性变换， 是空间 的一个向量。如果存在一个正整数 ，使得：

那么向量 线性无关。

由这个定理可以给出一个定义：

设 是空间 的一个线性变换， 是 的一个子空间。如果存在一个向量 和一个正整数 ，使得：

• 向量 构成 的一个基。

• 如下等式成立：

那么子空间 称为关于 的一个循环子空间，简称 循环子空间。此时 称为循环子空间 的一个生成向量，向量 称为 的一个循环基。

显然，一个 循环子空间 在 作用下不变，并且对于循环子空间 中的任意向量 ，均有 ，这里 为循环子空间的维数。

幂零 Jordan 块

如果空间 是变换 的循环子空间，那么 在 上的限制 是 的一个幂零变换，并且 关于 的倒序排列的循环基 的矩阵是如下形状的 阶上三角矩阵：

矩阵 称为一个 阶幂零 Jordan 矩阵，或者 阶幂零 Jordan 块。

设 是 维空间 的一个幂零变换，把出现在 关于 的循环子空间的分解中，唯一确定的一组正整数 叫做 的不变指数。

对于 阶幂零矩阵 ， 与一个上述形状的矩阵 相似，也唯一确定一个正整数序列 ，称为矩阵 的不变指数。

幂零阵虽然不能和对角阵相似，但是可以相似于这样的标准形式。在 Jordan 标准型，将相似对角化与幂零阵的标准形式，二者结合起来，给出一般的矩阵通过相似变换可以达到的标准形式。

一些定理

1. 设 是空间 的一个幂零变换，而

   是一个多项式，那么当且仅当 时，线性变换 有逆变换。当 可逆时， 的逆变换也是 的一个多项式。

2. 设 是空间 的一个幂零变换， 是一个 维 循环子空间， 是 中的向量。如果存在一个整数 ，使得

   那么存在 中的向量 ，使得

3. 设 是 维空间 的一个幂零变换， 是 的最小多项式，令 是一个 维 循环子空间，那么存在 的一个余子空间 ，使得：

   并且 也在 作用下不变。

4. 设 是 维空间 的一个幂零变换，那么 可以分解为 循环子空间的直和：

5. 每一个 阶幂零矩阵都与一个形如：

   的矩阵相似，这里的每一个 是一个 阶幂零 Jordan 块。

6. 如果规定 循环子空间 按照维数 降序排列 ，那么将 分解为 循环子空间的方法是由 唯一确定的。