二叉堆

结构

从二叉堆的结构说起，它是一棵二叉树，并且是完全二叉树，每个结点中存有一个元素（或者说，有个权值）。

堆性质：父亲的权值不小于儿子的权值（大根堆）。同样的，我们可以定义小根堆。本文以大根堆为例。

由堆性质，树根存的是最大值（getmax 操作就解决了）。

过程

插入操作

插入操作是指向二叉堆中插入一个元素，要保证插入后也是一棵完全二叉树。

最简单的方法就是，最下一层最右边的叶子之后插入。

如果最下一层已满，就新增一层。

插入之后可能会不满足堆性质？

向上调整：如果这个结点的权值大于它父亲的权值，就交换，重复此过程直到不满足或者到根。

可以证明，插入之后向上调整后，没有其他结点会不满足堆性质。

向上调整的时间复杂度是 的。

删除操作

删除操作指删除堆中最大的元素，即删除根结点。

但是如果直接删除，则变成了两个堆，难以处理。

所以不妨考虑插入操作的逆过程，设法将根结点移到最后一个结点，然后直接删掉。

然而实际上不好做，我们通常采用的方法是，把根结点和最后一个结点直接交换。

于是直接删掉（在最后一个结点处的）根结点，但是新的根结点可能不满足堆性质……

向下调整：在该结点的儿子中，找一个最大的，与该结点交换，重复此过程直到底层。

可以证明，删除并向下调整后，没有其他结点不满足堆性质。

时间复杂度 。

增加某个点的权值

很显然，直接修改后，向上调整一次即可，时间复杂度为 。

实现

我们发现，上面介绍的几种操作主要依赖于两个核心：向上调整和向下调整。

考虑使用一个序列 来表示堆。 的两个儿子分别是 和 ， 是根结点：

参考代码：

建堆

考虑这么一个问题，从一个空的堆开始，插入 个元素，不在乎顺序。

直接一个一个插入需要 的时间，有没有更好的方法？

方法一：使用 decreasekey（即，向上调整）

从根开始，按 BFS 序进行。

为啥这么做：对于第 层的结点，向上调整的复杂度为 而不是 。

总复杂度：。

（在「基于比较的排序」中证明过）

方法二：使用向下调整

这时换一种思路，从叶子开始，逐个向下调整

换一种理解方法，每次「合并」两个已经调整好的堆，这说明了正确性。

注意到向下调整的复杂度，为 ，另外注意到叶节点无需调整，因此可从序列约 的位置开始调整，可减少部分常数但不影响复杂度。

之所以能 建堆，是因为堆性质很弱，二叉堆并不是唯一的。

要是像排序那样的强条件就难说了。

应用

对顶堆

这个问题可以被进一步抽象成：动态维护一个序列上第 大的数， 值可能会发生变化。

对于此类问题，我们可以使用 对顶堆 这一技巧予以解决（可以避免写权值线段树或 BST 带来的繁琐）。

对顶堆由一个大根堆与一个小根堆组成，小根堆维护大值即前 大的值（包含第 k 个），大根堆维护小值即比第 大数小的其他数。

这两个堆构成的数据结构支持以下操作：

• 维护：当小根堆的大小小于 时，不断将大根堆堆顶元素取出并插入小根堆，直到小根堆的大小等于 ；当小根堆的大小大于 时，不断将小根堆堆顶元素取出并插入大根堆，直到小根堆的大小等于 ；
• 插入元素：若插入的元素大于等于小根堆堆顶元素，则将其插入小根堆，否则将其插入大根堆，然后维护对顶堆；
• 查询第 大元素：小根堆堆顶元素即为所求；
• 删除第 大元素：删除小根堆堆顶元素，然后维护对顶堆；
• 值 ：根据新的 值直接维护对顶堆。

显然，查询第 大元素的时间复杂度是 的。由于插入、删除或调整 值后，小根堆的大小与期望的 值最多相差 ，故每次维护最多只需对大根堆与小根堆中的元素进行一次调整，因此，这些操作的时间复杂度都是 的。

• 双倍经验：SP15376 RMID - Running Median
• 典型习题：P1801 黑匣子