定义
拉格朗日定理：设 为素数，对于模 意义下的整系数多项式
的同余方程 在模 意义下至多有 个不同解。
证明
对 使用归纳法。当 时，由于 ，故 无解，定理对 的多项式 都成立。
若命题对于 的 都成立，由反证法，假设存在一个满足题目条件的 在模 意义下有着至少 个不同的解 。
可设 ，则 在模 意义下是一个至多 次的多项式。现在由 都是 的解，知对 ，都有
而 ，故 ，从而 有至少 个根，与归纳假设矛盾。
所以，命题对 次多项式也成立，定理获证。
证毕
应用
首先见群论部分的 群论基础 有关群和元素的阶的定义，以及相关定理。
给出一个关于同余方程的引理：
对于任意 ，至多有 个不同的 满足同余方程 。
反证法。如果存在不同的解 都满足该方程，那么对于方程 也至少有这 个解。
设 m 与 n 的最大公约数为 d，，那么上述方程可以简化为 。所有的解 在模 意义下都与 同余，根据中国剩余定理，在模 意义下的 至多有 个，而 是 的约数，不可能大于 ，这与假设矛盾，因此原命题成立。
拉格朗日定理可以用在一个抽象代数中的定理中：
在有限可交换群 中，以下两个条件等价：
是循环群。
对于任意一个元素 ，至多有 个不同的元素 满足条件 。
先证循环群推 个元素条件。如果 是循环群，那么每个元素都可以表示成为生成元 的幂的形式。
于是将不同的元素 记为 ， 记为 ，条件变为 。如果群的阶为 ，则条件等价于 。于是这部分根据引理得证。
再证 个元素条件推循环群。如果 中对于任意元素 ，至多 个 使得 。取 为单位元 ，即 。
根据元素的阶部分的定理，群 中必然存在元素 ，阶 是所有元素的倍数。对于这个阶 ，所有的元素 都满足 。那么，根据初始条件，这个 至少为群 的阶 。
但是显然 不能比 大，否则会产生重复现象，即存在不同的整数 和 使得 。因此只能有 ，元素 的幂次恰好把群 的所有元素不重不漏地跑了一遍，所以 是循环群， 是生成元。证完。
因此可以直接得到结论：
对于素数 ，模 的缩剩余系 对于乘法构成的群是循环群。
另外阅读后文 原根 也可以知道，如果模 的原根存在，那么自然也会满足上述性质“对于任意一个元素 ，至多有 个不同的元素 满足条件 ”。