伯努利数

伯努利数 是一个与数论有密切关联的有理数序列。前几项被发现的伯努利数分别为：

等幂求和

伯努利数是由雅各布·伯努利的名字命名的，他在研究 次幂和的公式时发现了奇妙的关系。我们记

伯努利观察了如下一列公式，勾画出一种模式：

可以发现，在 中 的系数总是 ， 的系数总是 ， 的系数总是 ， 的系数是 ， 的系数总是零等。

而 的系数总是某个常数乘以 ， 表示下降阶乘幂，即 。

递推公式

伯努利数由隐含的递推关系定义：

例如，，前几个值显然是

证明

利用归纳法证明

这个证明方法来自 Concrete Mathematics 6.5 BERNOULLI NUMBER。

运用二项式系数的恒等变换和归纳法进行证明：

令 ，我们希望证明 ，假设对 ，有 。

将原式中两边都减去 后可以得到：

尝试在式子的右边加上 再进行化简，可以得到：

不妨设 ，并且将 展开，那么有

将第二个 中的求和顺序改为逆向，再将组合数的写法恒等变换可以得到：

对两个求和符号进行交换，可以得到：

对 进行恒等变换：

那么式子就变成了：

将所有的 用 代替，那么就可以得到：

考虑我们前面提到过的递归关系

代入后可以得到：

于是 ，且有 。

利用指数生成函数证明

对递推式

两边都加上 ，即得到：

设 ，注意到左边为卷积形式，故：

设 ，则：

调换求和顺序：

代入 ：

由于 ，即 ：

故得证。