网络流简介

网络流在 OI 中是显得尤为重要的。在《算法导论》中就用了 35 页来讲述网络流的知识，在这里，给大家介绍网络流中的一些基本知识。

网络

首先，请分清楚 网络（或者流网络，Flow Network）与 网络流（Flow）的概念。

网络是指一个有向图 。

每条边 都有一个权值 ，称之为容量（Capacity），当 时有 。

其中有两个特殊的点：源点（Source） 和汇点（Sink）。

流

设 定义在二元组 上的实数函数且满足

1. 容量限制：对于每条边，流经该边的流量不得超过该边的容量，即，
2. 斜对称性：每条边的流量与其相反边的流量之和为 0，即
3. 流守恒性：从源点流出的流量等于汇点流入的流量，即

那么 称为网络 的流函数。对于 ， 称为边的 流量， 称为边的 剩余容量。整个网络的流量为 ，即 从源点发出的所有流量之和。

一般而言也可以把网络流理解为整个图的流量。而这个流量必满足上述三个性质。

注：流函数的完整定义为

网络流的常见问题

网络流问题中常见的有以下三种：最大流，最小割，费用流。

最大流

我们有一张图，要求从源点流向汇点的最大流量（可以有很多条路到达汇点），就是我们的最大流问题。

最小费用最大流

最小费用最大流问题是这样的：每条边都有一个费用，代表单位流量流过这条边的开销。我们要在求出最大流的同时，要求花费的费用最小。

最小割

割其实就是删边的意思，当然最小割就是割掉 条边来让 跟 不互通。我们要求 条边加起来的流量总和最小。这就是最小割问题。

网络流 24 题

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