快速数论变换

简介

数论变换(number-theoretic transform, NTT）是离散傅里叶变换（DFT）在数论基础上的实现；快速数论变换(fast number-theoretic transform, FNTT）是

快速傅里叶变换（FFT）在数论基础上的实现。

数论变换 是一种计算卷积（convolution）的快速算法。最常用算法就包括了前文提到的快速傅里叶变换。然而快速傅立叶变换具有一些实现上的缺点，举例来说，资料向量必须乘上复数系数的矩阵加以处理，而且每个复数系数的实部和虚部是一个正弦及余弦函数，因此大部分的系数都是浮点数，也就是说，必须做复数而且是浮点数的运算，因此计算量会比较大，而且浮点数运算产生的误差会比较大。

NTT 解决的是多项式乘法带模数的情况，可以说有些受模数的限制，数也比较大。目前最常见的模数是 998244353。

前置知识

学习数论变换需要前置知识：离散傅里叶变换、生成子群、

原根、离散对数。相关知识可以在对应页面中学习，此处不再赘述。

定义

数论变换

在数学中，NTT 是关于任意

环 上的离散傅立叶变换（DFT）。在有限域的情况下，通常称为数论变换 (NTT)。

数论变换(NTT）是通过将离散傅立叶变换化为 ，整数模质数 。这是一个 有限域，只要 可除 ，就存在本原 次方根，所以我们有 对于 正整数 。具体来说，对于质数 ，原根 满足 , 将 看做 的等价，则其满足相似的性质，比如 。

因为这里涉及到数论变化，所以 （为了区分 FFT 中的 ，我们把这里的 称为 ）可以比 FFT 中的 大，但是只要把 看做这里的 就行了，能够避免大小问题。

常见的有：

就是 的等价 。

迭代到长度 时 ，或者 。

快速数论变换

快速数论变换（FNTT）是数论变换（NTT）增加分治操作之后的快速算法。

快速数论变换使用的分治办法，与快速傅里叶变换使用的分治办法完全一致。这意味着，只需在快速傅里叶变换的代码基础上进行简单修改，即可得到快速数论变换的代码。

在算法竞赛中常提到的 NTT 一词，往往实际指的是快速数论变换，一般默认“数论变换”是指“快速数论变换”。

这样简写的逻辑与快速傅里叶变换相似。事实上，“快速傅里叶变换”（FFT）一词指的是“快速离散傅里叶变换”（FDFT），但由于“快速”只能作用于离散，甚至是本原单位根阶数为 的幂的特殊情形，不能作用于连续，因此“离散”一词被省略掉，FDFT 变为 FFT，即 FFT 永远指的是特殊的离散情形。

数论变换或快速数论变换是在取模意义下进行的操作，不存在连续的情形，永远是离散的，自然也无需提到离散一词。

在算法领域，不进行提速的操作是无意义的。在快速傅里叶变换中介绍 DFT 一词，是因为 DFT 在信号处理、图像处理领域也有其他的具体应用，同时 DFT 也是 FFT 的原理或前置知识。

在不引起混淆的情形下，常用 NTT 来代指 FNTT。为了不引起下文进一步介绍的混淆，下文的 NTT 与 FNTT 两个词进行了分离。

DFT、FFT、NTT、FNTT 的具体关系是：

• 在 DFT 与 NTT 的基础上，增加分治操作，得到 FFT 与 FNTT。分治操作的办法与原理，可以参见快速傅里叶变换一文。

• 在 DFT 与 FFT 的基础上，将复数加法与复数乘法替换为模 意义下的加法和乘法，一般大小限制在 到 之间；将本原单位根改为模 意义下的相同阶数的本原单位根，阶数为 的幂，即可得到 NTT 与 FNTT。

由于替换的运算只涉及加法和乘法，因此 DFT、FFT、NTT、FNTT 拥有相同的原理，均在满足加法与乘法的环上进行，无需域上满足除法运算的更加严格的条件。

事实上，只要拥有原根，即群论中的生成元，该模数下的 NTT 或 FNTT 即可进行。考虑到模数为 、 和 的情形太小，不具有实际意义，对于奇素数 和正整数 ，只要给出模数为 和 的原根 ，采用同样的办法，则 NTT 或 FNTT 仍然可以进行。

模板

下面是一个大数相乘的模板，参考来源。

参考资料与拓展阅读

• [1]FWT(快速沃尔什变换)零基础详解qaq（ACM/OI）
• [2]FFT(快速傅里叶变换)0基础详解！附NTT（ACM/OI）
• [3]Number-theoretic transform(NTT) - Wikipedia
• [4]Tutorial on FFT/NTT — The tough made simple. ( Part 1 )