数位 DP

本页面将简要介绍数位 DP。

引入

数位是指把一个数字按照个、十、百、千等等一位一位地拆开，关注它每一位上的数字。如果拆的是十进制数，那么每一位数字都是 0~9，其他进制可类比十进制。

数位 DP：用来解决一类特定问题，这种问题比较好辨认，一般具有这几个特征：

1. 要求统计满足一定条件的数的数量（即，最终目的为计数）；

2. 这些条件经过转化后可以使用「数位」的思想去理解和判断；

3. 输入会提供一个数字区间（有时也只提供上界）来作为统计的限制；

4. 上界很大（比如 ），暴力枚举验证会超时。

数位 DP 的基本原理：

考虑人类计数的方式，最朴素的计数就是从小到大开始依次加一。但我们发现对于位数比较多的数，这样的过程中有许多重复的部分。例如，从 7000 数到 7999、从 8000 数到 8999、和从 9000 数到 9999 的过程非常相似，它们都是后三位从 000 变到 999，不一样的地方只有千位这一位，所以我们可以把这些过程归并起来，将这些过程中产生的计数答案也都存在一个通用的数组里。此数组根据题目具体要求设置状态，用递推或 DP 的方式进行状态转移。

数位 DP 中通常会利用常规计数问题技巧，比如把一个区间内的答案拆成两部分相减（即

那么有了通用答案数组，接下来就是统计答案。统计答案可以选择记忆化搜索，也可以选择循环迭代递推。为了不重不漏地统计所有不超过上限的答案，要从高到低枚举每一位，再考虑每一位都可以填哪些数字，最后利用通用答案数组统计答案。

接下来我们具体看几道题目。

例题一

方法一

解释

发现对于满 位的数，所有数字出现的次数都是相同的，故设数组 为满 位的数中每个数字出现的次数，此时暂时不处理前导零。则有 ，这两部分前一个是来自前 位数字的贡献，后一个是来自第 位的数字的贡献。

有了 数组，我们来考虑如何统计答案。将上界按位分开，从高到低枚举，不贴着上界时，后面可以随便取值。贴着上界时，后面就只能取 到上界，分两部分分别计算贡献。最后考虑下前导零，第 位为前导 时，此时 到 位也都是 ，也就是多算了将 位填满的答案，需要额外减去。

实现

方法二

解释

此题也可以使用记忆化搜索。 表示不贴上限、无前导零时，位数为 的答案。

详见代码注释

过程

例题二

解释

没有 4 的话在枚举的时候判断一下，不枚举 4 就可以保证状态合法了，所以这个约束没有记忆化的必要，而对于 62 的话，涉及到两位，当前一位是 6 或者不是 6 这两种不同情况我计数是不相同的，所以要用状态来记录不同的方案数。 表示当前第 位，前一位是否是 6 的状态，这里 只需要取 0 和 1 两种状态就可以了，不是 6 的情况可视为同种，不会影响计数。

实现

例题三

解释

首先我们将问题转化成更加简单的形式。设 表示在区间 中满足条件的数的数量，那么所求的答案就是 。

对于一个小于 的数，它从高到低肯定出现某一位，使得这一位上的数值小于 这一位上对应的数值。而之前的所有位都和 上的位相等。

有了这个性质，我们可以定义 表示当前将要考虑的是从高到低的第 位，当前该前缀的状态为 且前缀和当前求解的数字的大小关系是 （ 表示等于， 表示小于）时的数字个数。在本题中，这个前缀的状态就是上一位的值，因为当前将要确定的位不能取哪些数只和上一位有关。在其他题目中，这个值可以是：前缀的数字和，前缀所有数字的 ，该前缀取模某个数的余数，也有两种或多种合用的情况。

写出 状态转移方程：

这里的 就是当前枚举的下一位的值，而 就是当前能取到的最高位。因为如果 ，那么你在这一位上取的值一定不能大于求解的数字上该位的值，否则则没有限制。

我们发现，尽管前缀所选择的状态不同，而 的三个参数相同，答案就是一样的。为了防止这个答案被计算多次，可以使用

记忆化搜索 的方式实现。

实现

例题四

解释

注：由于这里考虑到的镜像，只有 的镜像是自己本身。所以，这里的「一模一样」并不是传统意义上的回文串，而是只含有 的回文串。

首先，在数位 DP 过程中，显然只有 能被选中。

其次，由于数值超过 long long 范围，所以 不再适用（高精度比较繁琐），而是需要对 是否合法进行判断，得出：。

镜像解决了，如何判断回文？

我们需要用一个小数组记录一下之前的值。在未超过一半的长度时，只要不超上限就行；在超过一半的长度时，还需要判断是否和与之「镜面对称」的位相等。

需要额外注意的是，这道题的记忆化部分，不能用 memset，否则会导致超时。

实现

例题五

解释

阅读题面发现，如果将数字看成字符串，那么这就是需要完成一个多模匹配，自然而然就想到 AC 自动机。普通数位 DP 中，先从高到低枚举数位，再枚举每一位都填什么，在这道题中，我们也就自然地转化为枚举已经填好的位数，再枚举此时停在 AC 自动机上的哪个节点，然后从当前节点转移到它在 AC 自动机上的子节点。

设 表示当前从高到低已经填了 位（即在 AC 自动机上走过了 条边），此时停在标号为 的节点上，当前是否正好贴着上界。

至于题目中的「不包含」条件，只需在 AC 自动机上给每个模式串的结尾节点都打上标记，DP 过程中一旦遇上这些结尾节点就跳过即可。

转移很好想，详见代码主函数部分。

实现

此题可以很好地帮助理解数位 DP 的原理。

习题

Ahoi2009 self 同类分布

洛谷 P3413 SAC#1 - 萌数

HDU 6148 Valley Number

CF55D Beautiful numbers

CF628D Magic Numbers