字符串哈希

定义

我们定义一个把字符串映射到整数的函数 ，这个 称为是 Hash 函数。

我们希望这个函数 可以方便地帮我们判断两个字符串是否相等。

Hash 的思想

Hash 的核心思想在于，将输入映射到一个值域较小、可以方便比较的范围。

性质

具体来说，哈希函数最重要的性质可以概括为下面两条：

1. 在 Hash 函数值不一样的时候，两个字符串一定不一样；

2. 在 Hash 函数值一样的时候，两个字符串不一定一样（但有大概率一样，且我们当然希望它们总是一样的）。

   我们将 Hash 函数值一样但原字符串不一样的现象称为哈希碰撞。

解释

我们需要关注的是什么？

时间复杂度和 Hash 的准确率。

通常我们采用的是多项式 Hash 的方法，对于一个长度为 的字符串 来说，我们可以这样定义多项式 Hash 函数：。例如，对于字符串 ，其哈希函数值为 。

特别要说明的是，也有很多人使用的是另一种 Hash 函数的定义，即 ，这种定义下，同样的字符串 的哈希值就变为了 了。

显然，上面这两种哈希函数的定义函数都是可行的，但二者在之后会讲到的计算子串哈希值时所用的计算式是不同的，因此千万注意 不要弄混了这两种不同的 Hash 方式。

由于前者的 Hash 定义计算更简便、使用人数更多、且可以类比为一个 进制数来帮助理解，所以本文下面所将要讨论的都是使用 来定义的 Hash 函数。

下面讲一下如何选择 和计算哈希碰撞的概率。

这里 需要选择一个素数（至少要比最大的字符要大）， 可以任意选择。

如果我们用未知数 替代 ，那么 实际上是多项式环 上的一个多项式。考虑两个不同的字符串 ，有 。我们记 ，其中 。可以发现 是一个 阶的非零多项式。

如果 与 在 的情况下哈希碰撞，则 是 的一个根。由于 在 是一个域（等价于 是一个素数，这也是为什么 要选择素数的原因）的时候，最多有 个根，如果我们保证 是从 之间均匀随机选取的，那么 与 碰撞的概率可以估计为 。简单验算一下，可以发现如果两个字符串长度都是 的时候，哈希碰撞的概率为 ，此时不可能发生碰撞。

实现

参考代码：（效率低下的版本，实际使用时一般不会这么写）

=== "C++"

```cpp
using std::string;

const int M = 1e9 + 7;
const int B = 233;

typedef long long ll;

int get_hash(const string& s) {
  int res = 0;
  for (int i = 0; i < s.size(); ++i) {
    res = (ll)(res * B + s[i]) % M;
  }
  return res;
}

bool cmp(const string& s, const string& t) {
  return get_hash(s) == get_hash(t);
}
```

=== "Python"

```python
M = int(1e9 + 7)
B = 233

def get_hash(s):
    res = 0
    for char in s:
        res = (res * B + ord(char)) % M
    return res

def cmp(s, t):
    return get_hash(s) == get_hash(t)
```

Hash 的分析与改进

错误率

若进行 次比较，每次错误率 ，那么总错误率是 。在随机数据下，若 ，，错误率约为 ，并不是能够完全忽略不计的。

所以，进行字符串哈希时，经常会对两个大质数分别取模，这样的话哈希函数的值域就能扩大到两者之积，错误率就非常小了。

多次询问子串哈希

单次计算一个字符串的哈希值复杂度是 ，其中 为串长，与暴力匹配没有区别，如果需要多次询问一个字符串的子串的哈希值，每次重新计算效率非常低下。

一般采取的方法是对整个字符串先预处理出每个前缀的哈希值，将哈希值看成一个 进制的数对 取模的结果，这样的话每次就能快速求出子串的哈希了：

令 表示 ，即原串长度为 的前缀的哈希值，那么按照定义有

现在，我们想要用类似前缀和的方式快速求出 ，按照定义有字符串 的哈希值为

对比观察上述两个式子，我们发现 成立（可以手动代入验证一下），因此我们用这个式子就可以快速得到子串的哈希值。其中 可以 的预处理出来然后 的回答每次询问（当然也可以快速幂 的回答每次询问）。

Hash 的应用

字符串匹配

求出模式串的哈希值后，求出文本串每个长度为模式串长度的子串的哈希值，分别与模式串的哈希值比较即可。

允许 次失配的字符串匹配

问题：给定长为 的源串 ，以及长度为 的模式串 ，要求查找源串中有多少子串与模式串匹配。 与 匹配，当且仅当 与 长度相同，且最多有 个位置字符不同。其中 ，。

这道题无法使用 KMP 解决，但是可以通过哈希 + 二分来解决。

枚举所有可能匹配的子串，假设现在枚举的子串为 ，通过哈希 + 二分可以快速找到 与 第一个不同的位置。之后将 与 在这个失配位置及之前的部分删除掉，继续查找下一个失配位置。这样的过程最多发生 次。

总的时间复杂度为 。

最长回文子串

二分答案，判断是否可行时枚举回文中心（对称轴），哈希判断两侧是否相等。需要分别预处理正着和倒着的哈希值。时间复杂度 。

这个问题可以使用

通过哈希同样可以 解决这个问题，具体方法就是记 表示以 作为结尾的最长回文的长度，那么答案就是 。考虑到 ，因此我们只需要暴力从 开始递减，直到找到第一个回文即可。记变量 表示当前枚举的 ，初始时为 ，则 在每次 增大的时候都会增大 ，之后每次暴力循环都会减少 ，故暴力循环最多发生 次，总的时间复杂度为 。

最长公共子字符串

问题：给定 个总长不超过 的非空字符串，查找所有字符串的最长公共子字符串，如果有多个，任意输出其中一个。其中 。

很显然如果存在长度为 的最长公共子字符串，那么 的公共子字符串也必定存在。因此我们可以二分最长公共子字符串的长度。假设现在的长度为 ，check(k) 的逻辑为我们将所有所有字符串的长度为 的子串分别进行哈希，将哈希值放入 个哈希表中存储。之后求交集即可。

时间复杂度为 。

确定字符串中不同子字符串的数量

问题：给定长为 的字符串，仅由小写英文字母组成，查找该字符串中不同子串的数量。

为了解决这个问题，我们遍历了所有长度为 的子串。对于每个长度为 ，我们将其 Hash 值乘以相同的 的幂次方，并存入一个数组中。数组中不同元素的数量等于字符串中长度不同的子串的数量，并此数字将添加到最终答案中。

为了方便起见，我们将使用 作为 Hash 的前缀字符，并定义 。

例题

本页面部分内容译自博文 строковый хеш 与其英文翻译版 String Hashing。其中俄文版版权协议为 Public Domain + Leave a Link；英文版版权协议为 CC-BY-SA 4.0。