DAG 上的 DP

定义

DAG 即

有向无环图，一些实际问题中的二元关系都可使用 DAG 来建模，从而将这些问题转化为 DAG 上的最长（短）路问题。

解释

以这道题为例子，来分析一下 DAG 建模的过程。

过程

建立 DAG

由于每个砖块的底面长宽分别严格小于它下方砖块的底面长宽，因此不难将这样一种关系作为建图的依据，而本题也就转化为最长路问题。

也就是说如果砖块 能放在砖块 上，那么 和 之间存在一条边 ，且边权就是砖块 所选取的高。

本题的另一个问题在于每个砖块的高有三种选法，怎样建图更合适呢？

不妨将每个砖块拆解为三种堆叠方式，即将一个砖块分解为三个砖块，每一个拆解得到的砖块都选取不同的高。

初始的起点是大地，大地的底面是无穷大的，则大地可达任意砖块，当然我们写程序时不必特意写上无穷大。

假设有两个砖块，三条边分别为 和 ，那么整张 DAG 应该如下图所示。

图中蓝色实线框所表示的是一个砖块拆解得到的一组砖块，之所以用 表示底面边长，是因为砖块一旦选取了高，底面边长就是无序的。

图中黄色虚线框表示的是重复计算部分，可以采用

记忆化搜索 的方法来避免重复计算。

转移

题目要求的是塔的最大高度，已经转化为最长路问题，其起点上文已指出是大地，那么终点呢？显然终点已经自然确定，那就是某砖块上不能再搭别的砖块的时候。

下面我们开始考虑转移方程。

设 表示第 块砖块在最上面，且采取第 种堆叠方式时的最大高度。那么有如下转移方程：

其中 是所有那些在砖块 以 方式堆叠时可放上的砖块， 对应 此时的摆放方式， 对应砖块 采用第 种堆叠方式时的高度。