并查集，Kruskal 重构树的思维方式是很类似的，他们都能用于处理与连通性有关的问题。本文通过例题讲解的方式给大家介绍并查集思想的应用。
A
有 个点，初始时均为孤立点。
接下来有 次加边操作，第 次操作在 和 之间加一条无向边。设 表示结点 和 最早在第 次操作后连通。
在 次操作完后，你要求出 的值。
这是基础并查集的应用，并查集记录一下子树的大小。考虑统计每次操作的贡献。如果第 次操作 和 分属于两个不同子树，就将这两个子树合并，并将两者子树大小的乘积乘上 累加到答案里。时间复杂度 。
B
有 个点，初始时均为孤立点。
接下来有 次加边操作，第 次操作在 和 之间加一条无向边。
接下来有 次询问，第 次询问 和 最早在第几次操作后连通。
考虑在并查集合并的时候记录「并查集生成树」，也就是说如果第 次操作 和 分属于两个不同子树，那么把 这条边纳入生成树中。边权是 。那么查询就是询问 到 路径上边权的最大值，可以使用树上倍增或者树链剖分的方法维护。时间复杂度 。
另外一个方法是维护 Kruskal 重构树，其本质与并查集生成树是相同的。复杂度亦相同。
C
有 个点，初始时均为孤立点。
接下来有 次加边操作，第 次操作在 和 之间加一条无向边。
接下来有 次询问，第 次询问第 个点在第 次操作后所在连通块的大小。
离线算法：考虑将询问按 从小到大排序。在加边的过程中顺便处理询问即可。时间复杂度 。
在线算法：本题的在线算法只能使用 Kruskal 重构树。Kruskal 重构树与并查集的区别是：第 次操作 和 分属于两个不同子树，那么 Kruskal 会新建一个结点 ，然后让 所在子树的根和 所在子树的根分别连向 ，作为 的两个儿子。不妨设 的点权是 。对于初始的 个点，点权为 。
对于询问，我们只需要求出 在重构树中最大的一个连通块使得连通中的点权最大值不超过 ，询问的答案就是这个连通块中点权为 的结点个数，即叶子结点个数。
由于我们操作的编号是递增的，因此重构树上父结点的点权总是大于子结点的点权。这意味着我们可以在重构树上从 到根结点的路径上倍增找到点权最大的不超过 的结点。这样我们就求出了答案。时间复杂度 。
D
给一个长度为 的 01 序列 ，一开始全是 ，接下来进行 次操作：
建立一个并查集， 表示 中第一个 的位置。初始时 。
对于一次 的操作，如果 原本就等于 ，就不管。否则我们令 。
时间复杂度 ，如果要使用按秩合并的话实现会较为麻烦，不过仍然可行。也就是说时间复杂度或为 。
E
给出三个长度为 的正整数序列 ，，。枚举 ，求 的最大值。
本题同样有许多做法，这里我们重点讲解并查集思路。按权值从大到小考虑 。相当于我们在 上加入一个点，然后将 和 位置上的点所在的连通块与之合并（如果这两个位置上有点的话）。连通块上记录 的最大值和 的最大值，即可在合并的时候更新答案。时间复杂度 。
F
给出一棵 个点的树，接下来有 次操作：
- 加一条从 到 的边。
- 询问两个点 和 之间是否有至少两条边不相交的路径。
询问可以转化为：求 和 是否在同一个简单环上。按照双连通分量缩点的想法，每次我们在 和 间加一条边，就可以把 到 树上路径的点缩到一起。如果两条边 和 对应的树上路径有交，那么这两条边就会被缩到一起。
换言之，加边操作可以理解为，将 到 树上路径的边覆盖一次。而询问就转化为了：判断 到 路径上是否存在未被覆盖的边。如果不存在，那么 和 就属于同一个双连通分量，也就属于同一个简单环。
考虑使用并查集维护。给树定根，设 表示 到根的路径中第一个未被覆盖的边。那么每次加边操作，我们就暴力跳并查集。覆盖了一条边后，将这条边对应结点的 与父节点合并。这样，每条边至多被覆盖一次，总复杂度 。使用按秩合并的并查集同样可以做到 。
本题的维护方式类似于 D 的树上版本。
G
无向图 有 个点，初始时均为孤立点（即没有边）。
接下来有 次加边操作，第 次操作在 和 之间加一条无向边。
每次操作后，你均需要求出图中桥的个数。
桥的定义为：对于一条 中的边 ，如果删掉它会使得连通块数量增加，则 被称作桥。
强制在线。
本题考察对并查集性质的理解。考虑用并查集维护连通情况。对于边双树，考虑维护有根树，设 表示结点 的父亲。也就是不带路径压缩的并查集。
如果第 次操作 和 属于同一个连通块，那么我们就需要将边双树上 到 路径上的点缩起来。这可以用并查集维护。每次缩点，边双连通分量的个数减少 ，最多减少 次，因此缩点部分的并查集复杂度是 。
为了缩点，我们要先求出 和 在边双树上的 LCA。对此我们可以维护一个标记数组。然后从 和 开始轮流沿着祖先一个一个往上跳，并标记沿途经过的点。一但跳到了某个之前就被标记过的点，那么这个点就是 和 的 LCA。这个算法的复杂度与 到 的路径长度是线性相关的，可以接受。
如果 和 分属于两个不同连通块，那么我们将这两个连通块合并，并且桥的数量加 。此时我们需要将两个点所在的边双树连起来，也就是加一条 到 的边。因此我们需要将其中一棵树重新定根，然后接到另一棵树上。这里运用启发式合并的思想：我们把结点数更小的重新定根。这样的总复杂度是 的。
综上，该算法的总复杂度是 的。
小结
并查集与 Kruskal 重构树有许多共通点，而并查集的优化（按秩合并）正是启发式合并思想的应用。因此灵活运用并查集可以方便地处理许多与连通性有关的图论问题。
本页面部分内容译自博文 Поиск мостов в режиме онлайн 与其英文翻译版 Finding Bridges Online。其中俄文版版权协议为 Public Domain + Leave a Link；英文版版权协议为 CC-BY-SA 4.0。