三维计算几何基础

三维几何的很多概念与

二维几何 是相通的，我们可以用与解决二维几何问题相同的方法来解决三维几何问题。

基本概念

点，向量，直线这些概念和二维几何是相似的，这里不再展开。

平面

我们可以用平面上的一点 和该平面的法向量（即垂直于该平面的向量） 来表示一个平面。

因为 垂直于平面，所以 垂直于该平面内的所有直线。换句话说，设 ，则该平面上的点 都满足 。

根据向量点积的定义，上式等价于：

整理后得到：

令 ，则上式变成 。我们称这个式子为平面的 一般式。

基本操作

直线、平面之间的夹角

运用空间向量的知识，空间中直线、平面之间的夹角可以很快求出。

对于两条异面直线 ，，过空间中一点 ，作 ，，则 与 所成的锐角或直角被称为 和 两条 异面直线所成的角。

对于直线 和平面 ，若 与 相交于 ，过 上一点 引平面 的垂线交 于 ，则 与 所成的角被称为 直线与平面所成的角。特别地，若 或 ，则它们之间的夹角为 。

对于两个平面 ，，它们的夹角被定义为与两条平面的交线 垂直的两条直线 （其中 ，）所成的角。

两直线夹角定义与关系充要条件

• 两直线的方向向量的夹角，叫做两直线的夹角。

有了这个命题，我们就可以得出以下结论：已知两条直线 ，它们的方向向量分别是 ，，设 为两直线夹角，我们可以得到 .

• .

三维向量与平面的夹角

当直线与平面不垂直时，直线和它在平面上的投影直线的夹角 （）称为直线与平面的夹角。

设直线向量 ，平面法线向量 ，那么以下命题成立：

• 角度的正弦值：

• 直线与平面平行

• 直线与平面垂直

点到平面的距离

直线与平面的交点

直接联立直线方程和平面方程即可。

立体几何定理

三正弦定理

设二面角 －－ 的度数为 ，在平面 上有一条射线 ，它和棱 所成角为 ，和平面 所成的角为 ，则 。

三余弦定理

设 为平面上一点，过平面外一点 的直线 在面上的射影为 ， 为面上的一条直线，那么 ，， 三角的余弦关系为：（， 只能是锐角）。

参考资料

• 3D 空间基础概念之一：点、向量（矢量）和齐次坐标